זהות המכפלה המשולשת של יעקובי

באנליזה מתמטית, זהות המכפלה המשולשת של יעקובי היא הזהות המתמטית:

\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},

כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים המקיימים x| < 1| ו-y ≠ 0.

הזהות הוצגה לראשונה על ידי קרל גוסטב יעקב יעקובי (1829) בחיבורו Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum.

תכונות

זהות המכפלה המשולשת של יעקובי כוללת כמקרים פרטיים זהויות רבות אחרות, כמו משפט המספרים המחומשים של לאונרד אוילר וההצגה של פונקציות תטא של יעקובי כמכפלה אינסופית.

למשל, אם נציב $x=q{\sqrt {q}}$ ו- $y^{2}=-{\sqrt {q}}$ , אז נקבל את משפט המספרים המחומשים:

\phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.

זהות המכפלה המשולשת מאפשרת לכתוב את פונקציית תטא כמכפלה אינסופית. נניח כי $x=e^{i\pi \tau }$ ו- $y=e^{i\pi z}$ . אז פונקציית תטא היא:

\vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}

והיא ניתנת לרישום כמכפלה אינסופית באופן הבא:

\vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].

בפרט, הצבת $y=1$ נותנת את הזהות:

\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1})^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}

.

הצדקה לנכונות הזהות

תהי $f_{x}(y)=\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m})(1+x^{2m-1}y^{2})(1+x^{2m-1}y^{-2})$ פונקציה של המשתנה y (כאן x נלקח כקבוע). אזי

f_{x}(xy)=(\prod _{m=1}^{\infty }(1-x^{2m}))(1+x^{3}y^{2})(1+{\frac {1}{xy^{2}}})(1+x^{5}y^{2})(1+{\frac {x}{y^{2}}})\cdots ={\frac {1+x^{-1}y^{-2}}{1+xy^{2}}}f_{x}(y)=x^{-1}y^{-2}f_{x}(y)

.

מכיוון ש-f_x היא מרומורפית בעבור y| > 0|, יש לה פיתוח לטור לורן $f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)y^{2n}$ , פיתוח המקיים:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(x)x^{2n+1}y^{2n}=xf_{x}(xy)=y^{-2}f_{x}(y)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n+1}(x)y^{2n}$

ולכן גם $c_{n+1}(x)=c_{n}(x)x^{2n+1}=c_{0}(x)x^{(n+1)^{2}}$ . קיבלנו איפה את הצורה הכללית של ההצגה של המכפלה האינסופית שבאגף שמאל של זהות יעקובי כטור אינסופי. לעומת זאת, הוכחה ש- $c_{0}(x)=1$ היא טכנית יותר ועושה שימוש בתאוריה של פונקציות מודולריות.