וקטורי Q

וקטורי Q (באנגלית Q-vectors), הם ביטויים מתמטיים המשמשים בדינמיקה אטמוספירית לצורך הבנת תהליכים פיזיקליים כמו תנועה אנכית ופרונטוגנזה (יצירת חזיתות מזג אוויר, Frontogenesis; אנ'). וקטורי Q אינם גודל פיזיקלי ממשי שניתן למדוד באטמוספירה, כי אם ביטויים הנגזרים מהמשוואות המעין-גיאוסטרופיות (Quasi-geostrophic equations, אנ'), וניתן להשתמש בהם לצורך ניתוח המצבים המוזכרים. בתרשימים מטאורולוגיים, וקטורי Q מצביעים לעבר תנועה כלפי מעלה, והרחק מתנועה כלפי מטה. וקטורי Q מהווים חלופה למשוואת אומגה (Omega equation, אנ') באבחון תנועה אנכית במשוואות המעין-גיאוסטרופיות.

גזירה

וקטורי Q נגזרו לראשונה בשנת 1978. גזירתם ניתנת לפישוט עבור קווי הרוחב הבינוניים, באמצעות משוואות החיזוי המעין-גיאוסטרופיות של קו הרוחב במישור-β:

1. ${\frac {D_{g}u_{g}}{Dt}}-f_{0}v_{a}-\beta yv_{g}=0$ (רכיב x של משוואת מומנטום מעין-גיאוסטרופית)
2. ${\frac {D_{g}v_{g}}{Dt}}+f_{0}u_{a}+\beta yu_{g}=0$ (מרכיב y של משוואת מומנטום מעין-גיאוסטרופית)
3. ${\frac {D_{g}T}{Dt}}-{\frac {\sigma p}{R}}\omega ={\frac {J}{c_{p}}}$ (משוואה תרמודינמית מעין-גיאוסטרופית)

ומשוואות הרוח התרמלית:

$f_{0}{\frac {\partial u_{g}}{\partial p}}={\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial y}}$ (רכיב x של משוואת רוח תרמלית)

$f_{0}{\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}=-{\frac {R}{p}}{\frac {\partial T}{\partial x}}$ (רכיב y של משוואת רוח תרמלית)

כאשר $f_{0}$ מייצג תדירות קוריוליס, המשוער להיות קבוע שגודלו 1e ⁻⁴ s ⁻¹ ; $R$ הוא קבוע הגז האידיאלי האטמוספירי; השינוי הרוחבי בתדירות קוריוליס $\beta$ מחושבת לפי $\beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}$ ; $\sigma$ מייצג פרמטר יציבות סטטי; $c_{p}$ הוא החום הסגולי (Specific heat capacity, אנ') תחת לחץ קבוע; $p$ מייצג לחץ; $T$ מסמן טמפרטורה; האות $g$ מסמלת 'גיאוסטרופי' (Geostrophic current, אנ') עבור כל איבר לו היא מוצמדת; האות $a$ מוצמדת לאיברים לצורך סימון 'א-גיאוסטרופי' (Ageostrophic, אנ'); $J$ מייצג קצב חימום דיאבטי; ו-$\omega$ הוא קצב השינוי בלחץ עם הזמן (בתיאור לגראנז'י), המחושב על בסיס $\omega ={\frac {Dp}{Dt}}$. יש לשים לב כי נוכח ירירדת הלחץ עם העלייה בגובה באטמוספירה, ערך שלילי של $\omega$ מצביע על תנועה אנכית כלפי מעלה, המקבילה ל-$+w={\frac {Dz}{Dt}}$ .

ממשוואות אלה ניתן לקבל ביטויים לוקטורי Q:

$Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial x}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]$

$Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}\left[{\frac {\partial u_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{g}}{\partial y}}{\frac {\partial T}{\partial y}}\right]$

ובצורה וקטורית:

$Q_{i}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial x}}\cdot {\vec {\nabla }}T$

$Q_{j}=-{\frac {R}{\sigma p}}{\frac {\partial {\vec {V_{g}}}}{\partial y}}\cdot {\vec {\nabla }}T$

חיבור משוואות וקטורי Q הללו למשוואת אומגה נותן:

$\left(\sigma {\overrightarrow {\nabla ^{2}}}+f_{\circ }^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial p^{2}}}\right)\omega =-2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}+f_{\circ }\beta {\frac {\partial v_{g}}{\partial p}}-{\frac {\kappa }{p}}{\overrightarrow {\nabla ^{2}}}J$

אם סימן הנגזרות השניות שלילי, כפי שמתקבל בפונקציה סינוסואידית, ניתן לראות האמור לעיל בסביבה אדיאבטית כהצהרה לגבי תנועה כלפי מעלה:

$-\omega \propto -2{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}$

הרחבת צידה השמאלי של משוואת אומגה המעין-גיאוסטרופית בטור פורייה נותנת $-\omega$ לעיל, מה שרומז כי תחת $-\omega$ ניתן להניח כי קיים קשר עם צידה הימני של המשוואה.

ביטוי זה מראה כי הדיברגנץ של וקטורי Q ( ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {Q}}$ ) קשור בתנועה כלפי מטה. לכן, התכנסות ${\vec {Q}}$ מאלצת עליית אוויר, והתבדרות ${\vec {Q}}$ מאלצת ירידת אוויר. וקטור Q וכל זרימה א-גיאוסטרופית קיימים כדי לשמר איזון רוח תרמלית. לכן, וקטורי Q ברמה נמוכה נוטים להצביע בכיוון של רוחות אגוסטרופיות ברמה נמוכה.

יישומים

ניתן לקבוע וקטורי Q בהינתן: גובה גיאופוטנציאל ($\Phi$), וטמפרטורה על פני משטח לחץ קבוע. וקטורי Q מצביעים תמיד לכיוון בו האוויר עולה. עבור ציקלון ואנטי-ציקלון אידיאלים בחצי הכדור הצפוני (בו מתקיים ${\frac {\partial T}{\partial y}}<0$), לציקלונים יש וקטורי Q המצביעים במקביל לרוח התרמלית, בעוד לאנטי-ציקלונים יש וקטורי Q המצביעים בצורה אנטי מקבילה לרוח התרמלית. המשמעות היא תנועה כלפי מעלה באזור הסעת אוויר חם, ותנועה כלפי מטה באזור הסעת אוויר קר.

לצורך היווצרות חזיתות, נדרש תחילה כי תהיה התהדקות של גרדיאנטי טמפרטורות. עבור מצבים אלו, וקטורי Q מצביעים על עליית אוויר ועל השיפועים התרמיים המוצמדים. באזורי התכנסות של וקטורי Q, נוצרות מערבולות ציקלוניות, בעוד באזורים בהם הם מתבדרים נוצרות מערבולות אנטי-ציקלוניות.