ויקיפדיה:מיזמי ויקיפדיה/אתר האנציקלופדיה היהודית/מיון נושאים: לוויקי/מספר עגול

בתורת המספרים, מספר עגול הוא מספר שלם, שמספר הגורמים הראשוניים שלו גדול בהרבה מן הצפוי למספרים באותו גודל. בשפת היומיום מקובל לייחס את התכונה של מספר עגול בעיקר למספרים המתחלקים בחזקה של 10, כלומר למספרים שהצגתם מסתיימת ב-אפס אחד או יותר.

מספר הגורמים הראשוניים

מקובל לסמן ב- $\ \omega (n)$ את מספר הגורמים הראשוניים השונים של מספר טבעי n, וב- $\ \Omega (n)$ את המספר הכולל של גורמים ראשוניים. כלומר, אם $\ p_{1},\dots ,p_{r}$ ראשוניים שונים ו- $\ n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{r}^{a_{r}}$ , אז $\ \omega (n)=r$ ו- $\ \Omega (n)=a_{1}+\cdots +a_{r}$ .

הערך הממוצע (במובן של פונקציות אריתמטיות) של שתי הפונקציות הוא $\ \log \log(n)$ ^[1] (הלוגריתם הוא הלוגריתם הטבעי). יתרה מזו, לכל $\ \delta >0$ , הצפיפות של קבוצת המספרים המקיימים $\ |\omega (n)-\log \log(n)|>(\log \log(n))^{1/2+\delta }$ היא 0; כך גם עבור $\ \Omega (n)$ ^[2]. לכן, מספר n שיש לו הרבה יותר מ- $\ \log \log(n)$ גורמים ראשוניים, עשוי להחשב "עגול".

בשפת היומיום

בשפת היומיום מקובל לייחס את התכונה של מספר עגול בעיקר למספרים המתחלקים בחזקה גבוהה יחסית של 10, כלומר למספרים שהצגתם מסתיימת בכמה אפסים (בדר"כ לפחות מחצית ממספר הספרות). פעולת העיגול מחליפה מספר נתון, במספר קרוב המתחלק ב-10 פעמים רבות יותר. דוגמה: אפשר לעגל את 3178 ל-3180, ל-3200, ל-3000 ואף ל-0 (כאשר העיגול הוא לעשרות אלפים או לחזקה גבוהה יותר של 10).

לבני אדם יש נטייה להשתמש במספרים עגולים, גם כאשר הם מתבקשים לציין מספר מדויק. כך למשל, במפקדי אוכלוסין בארצות הברית נמצא דיווח יתר לגילאים המתחלקים ב-5 וב-10, כמו גם לגילאים זוגיים^[3].

בעת מנייה, הגעה למספר עגול נחשבת משמעותית יותר. כך, יום הולדת המתחלק ב-10 נחשב חגיגי יותר, ויום הולדת 100 נחשב חגיגי במיוחד. גם ימי זיכרון שנתיים זוכים ליתר תשומת לב ציבורית בחלוף מספר שנים עגול. נהוג לציין גם מספרים עגולים אחרים, כגון התייר המיליון. גם בספירת השנים, שנה שמספרה מתחלק ב-100, ועוד יותר מכך שנה שמספרה מתחלק ב-1000, נחשבת לציון דרך מיוחד.

שיטת הספירה הנפוצה היא השיטה העשרונית, אך למספר עגול יש משמעות גם בשיטות ספירה אחרות. בקרב מתכנתים, למשל, הרגילים גם לשיטה הבינארית, יום הולדת 32 הוא יום הולדת חגיגי, משום שבכתיב בינארי 32 הם 100,000.

שתי המשמעויות, זו של תורת המספרים וזו של שפת היומיום, אינן מתלכדות. בתורת המספרים, המספר 648, למשל, שלו שישה גורמים ראשוניים, עגול יותר מ-700, שלו רק חמישה גורמים ראשוניים, ואילו בשפת היומיום המצב הפוך: 700 הוא מספר עגול (מתחלק ב-100), ואילו 648 אינו עגול.

עיגול בתורה

כמה מהראשונים ומהאחרונים כתבו כי גם בתורה מצויים מספרים מעוגלים, בין בסיפורי המקרא ובין בדינים המופיעים בו. לדוגמה:

מספר בני ישראל במדבר, בעת שהיה 603,000, מופיע במקרא כ-600,000 משום שהוא מספר עגול^[4].
ימי ספירת העומר, שהם 49, מופיעים במקרא כ-50 משום שהוא מספר עגול^[5].
מספר המלקות בו לוקה מי שעבר על מצוות לא תעשה, שלפי מסורת חז"ל הוא 39^[6], מופיע במקרא כ-40 משום שהוא מספר עגול^[7].
מספר היורדים למצרים יחד עם יעקב אבינו, שלפי החשבון עולה 69, מופיע בתורה כ-70 משום שהוא מספר עגול^[8].
מספר הימים אותם שהה משה רבנו בשמים לקבל את הלוחות השניים, שעל פי חשבון פסוקי המקרא עולה שלא היה 40 יום שלמים, אלא פחות לילה אחת, מופיע בתורה כ-40 יום ולילה שלמים משום שהוא מספר עגול^[9].

לעומת אלו, הרבה מהראשונים והאחרונים סוברים, וכן דייקו מדברי חז"ל, כי המספרים המופיעים במקרא מדויקים הם^[10].

יש שכתבו כי מספר עגול בתורה מופיע רק בעניינים והוראות עתידיים, ולא בתיאורים וסיפורים מהעבר^[11].

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

^ An Introduction to the Theory of Numbers, Hardy and Wright, משפט 430.
^ שם, משפט 431
^ Mortimer Spiegelman, Introduction to Demography, Harvard Uiversity Press, 1969, page 68
^ ראו רש"י, פירוש רש"י למקרא, על ספר במדבר, פרק י"א, פסוק כ"א. וראו שם לדעת רבי משה הדרשן, וכן ראו בפירוש "מושב זקנים" לבעלי התוספות על הפסוק שם, שביארו כי המספר מדויק.
^ רא"ש, פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ' (הובא גם אצל: רבי דוד אבודרהם, אבודרהם, תפלות הפסח; רבי משה מאט, מטה משה, עמוד העבודה, חול המועד וב' ימים אחרונים של פסח, סימן תרפ"ה); ריטב"א, חידושי הריטב"א, מסכת מכות, דף כ"ב, עמוד א'.
^ ראו ערך מלקות.
^ רא"ש, פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ'; ריטב"א, חידושי הריטב"א, מסכת מכות, דף כ"ב, עמוד א'. וראו ערך מלקות לשיטות ופרשנויות נוספות.
^ רא"ש, פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ'.
^ תירוץ א' אצל רבי נפתלי צבי יהודה ברלין ("הנצי"ב"), העמק דבר, על ספר שמות, פרק ל"ד, פסוק כ"ח. לביאורים אחרים שעל פיהם המספר מדויק, ראו תוספות, על תלמוד בבלי, מסכת בבא קמא, דף פ"ב, עמוד א', ד"ה כדי שלא; תירוץ ב' אצל רבי נפתלי צבי יהודה ברלין, שם.
^ ראו לדוגמה אצל: רבי נתנאל וייל, קרבן נתנאל, על פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ', וראו שם שנדחק לתרץ את דברי הרא"ש; רבי שלמה איגר, גליון מהרש"א, מסכת פסחים, על רא"ש, וגליון מהרש"א, על תלמוד בבלי, מסכת קידושין, דף ל"ח, עמוד א'; רבי ברוך אפשטיין, תורה תמימה, על ספר בראשית, פרק מ"ו, פסוק כ"ז, הערה ט"ו, ועל ספר ויקרא, פרק כ"ג, פסוק ט"ז, הערה נ"ו, ועוד. וראו עוד בהערות לעיל.
^ ברכת פרץ, פרפראות (בסוף הספר).

קטגוריה:תורת המספרים

[1] An Introduction to the Theory of Numbers, Hardy and Wright, משפט 430.

[2] שם, משפט 431

[3] Mortimer Spiegelman, Introduction to Demography, Harvard Uiversity Press, 1969, page 68

[4] ראו רש"י, פירוש רש"י למקרא, על ספר במדבר, פרק י"א, פסוק כ"א. וראו שם לדעת רבי משה הדרשן, וכן ראו בפירוש "מושב זקנים" לבעלי התוספות על הפסוק שם, שביארו כי המספר מדויק.

[5] רא"ש, פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ' (הובא גם אצל: רבי דוד אבודרהם, אבודרהם, תפלות הפסח; רבי משה מאט, מטה משה, עמוד העבודה, חול המועד וב' ימים אחרונים של פסח, סימן תרפ"ה); ריטב"א, חידושי הריטב"א, מסכת מכות, דף כ"ב, עמוד א'.

[6] ראו ערך מלקות.

[7] רא"ש, פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ'; ריטב"א, חידושי הריטב"א, מסכת מכות, דף כ"ב, עמוד א'. וראו ערך מלקות לשיטות ופרשנויות נוספות.

[8] רא"ש, פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ'.

[9] תירוץ א' אצל רבי נפתלי צבי יהודה ברלין ("הנצי"ב"), העמק דבר, על ספר שמות, פרק ל"ד, פסוק כ"ח. לביאורים אחרים שעל פיהם המספר מדויק, ראו תוספות, על תלמוד בבלי, מסכת בבא קמא, דף פ"ב, עמוד א', ד"ה כדי שלא; תירוץ ב' אצל רבי נפתלי צבי יהודה ברלין, שם.

[10] ראו לדוגמה אצל: רבי נתנאל וייל, קרבן נתנאל, על פסקי הרא"ש, מסכת פסחים, פרק י', סימן מ', וראו שם שנדחק לתרץ את דברי הרא"ש; רבי שלמה איגר, גליון מהרש"א, מסכת פסחים, על רא"ש, וגליון מהרש"א, על תלמוד בבלי, מסכת קידושין, דף ל"ח, עמוד א'; רבי ברוך אפשטיין, תורה תמימה, על ספר בראשית, פרק מ"ו, פסוק כ"ז, הערה ט"ו, ועל ספר ויקרא, פרק כ"ג, פסוק ט"ז, הערה נ"ו, ועוד. וראו עוד בהערות לעיל.

[11] ברכת פרץ, פרפראות (בסוף הספר).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]