מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
במתמטיקה ובעיבוד אותות , התמרת הילברט היא אופרטור ליניארי , שלוקח פונקציה
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
H
(
u
)
(
t
)
{\displaystyle H{(u)(t)}}
בשונה מהתמרות אחרות כדוגמת התמרת Z , התמרת פורייה , אשר מעבירות פונקציות בין מרחבים, התמרת הילברט לוקחת פונקציה במרחב הזמן, ומשאירה אותה במרחב הזמן, כאשר במרחב התדר הפונקציה החדשה מוסטת בפאזה של
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
התמרת הילברט קרויה על שם דויד הילברט , שהיה הראשון אשר הציג את האופרטור לפתרון המקרה המיוחד של בעיית רימן-הילברט עבור פונקציה הולומורפית .
באדום-התמרת הילברט של גל מרובע (בכחול) התמרת הילברט של פונקציה
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
קונבולוציה של הפונקציה
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
h
(
t
)
=
1
/
(
π
t
)
{\displaystyle h(t)=1/(\pi t)}
ההתמרה מחושבת בצורה הבאה:
u
^
(
t
)
=
H
(
u
)
(
t
)
=
∫
−
∞
∞
u
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
=
1
π
∫
−
∞
∞
u
(
τ
)
t
−
τ
d
τ
{\displaystyle {\widehat {u}}(t)=H(u)(t)=\operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {\int } _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }
כאשר מבצעים התמרת הילברט פעמיים ברצף לפונקציה
u
{\displaystyle u}
u
{\displaystyle u}
H
(
H
(
u
)
)
(
t
)
=
−
u
(
t
)
{\displaystyle H(H(u))(t)=-u(t)}
מכאן התמרת הילברט ההפוכה היא:
H
−
1
=
−
H
{\displaystyle H^{-1}=-H}
במישור התדר, התמרת הילברט היא:
H
(
f
)
=
−
j
⋅
s
i
g
n
(
f
)
{\displaystyle H(f)=-j\cdot sign(f)}
s
i
g
n
(
f
)
{\displaystyle sign(f)}
פוקנציית הסימן .
מכאן ניתן לראות ש-
|
H
(
f
)
|
=
1
{\displaystyle |H(f)|=1}
−
90
∘
{\displaystyle -90^{\circ }}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
לכן האות במישור התדר לאחר התמרת הילברט הוא:
U
^
(
f
)
=
H
(
f
)
U
(
f
)
=
−
j
⋅
s
i
g
n
(
f
)
⋅
U
(
f
)
{\displaystyle {\widehat {U}}(f)=H(f)U(f)=-j\cdot sign(f)\cdot U(f)}
U
(
f
)
{\displaystyle U(f)}
U
^
(
f
)
{\displaystyle {\widehat {U}}(f)}
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
u
^
(
t
)
{\displaystyle {\widehat {u}}(t)}
בעיבוד אותות, התמרת הילברט של
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)}
u
^
(
t
)
{\displaystyle {\widehat {u}}(t)}
u
~
(
t
)
{\displaystyle {\tilde {u}}(t)}
האות
u
(
t
)
{\displaystyle u(t)\,}
התמרת הילברט
H
(
u
)
(
t
)
{\displaystyle H(u)(t)}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)}
−
cos
(
t
)
{\displaystyle -\cos(t)}
cos
(
t
)
{\displaystyle \cos(t)}
sin
(
t
)
{\displaystyle \sin(t)\,}
exp
(
i
t
)
{\displaystyle \exp \left(it\right)}
−
i
exp
(
i
t
)
{\displaystyle -i\exp \left(it\right)}
exp
(
−
i
t
)
{\displaystyle \exp \left(-it\right)}
i
exp
(
−
i
t
)
{\displaystyle i\exp \left(-it\right)}
1
t
2
+
1
{\displaystyle 1 \over t^{2}+1}
t
t
2
+
1
{\displaystyle t \over t^{2}+1}
e
−
t
2
{\displaystyle e^{-t^{2}}}
2
π
−
1
/
2
F
(
t
)
{\displaystyle 2\pi ^{-1/2}F(t)}
פונקציית Sinc
sin
(
t
)
t
{\displaystyle \sin(t) \over t}
1
−
cos
(
t
)
t
{\displaystyle 1-\cos(t) \over t}
פונקציית המלבן
⊓
(
t
)
{\displaystyle \sqcap (t)}
1
π
log
|
t
+
1
2
t
−
1
2
|
{\displaystyle {1 \over \pi }\log \left|{t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right|}
פונקציית דלתא של דיראק
δ
(
t
)
{\displaystyle \delta (t)\,}
1
π
t
{\displaystyle {1 \over \pi t}}
