התכנסות חלשה (מרחב הילברט)

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

התכנסות חלשה של סדרה במרחב הילברט היא ההתכנסות המושרת מהטופולגיה החלשה עליו.

הגדרה

סדרת נקודות $(x_{n})$ במרחב הילברט H מתכנסת חלש ל־ $x\in H$ אם לכל $y\in H$ , $\lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle$ . זוהי ההתכנסות בטופולוגיה החלשה. לעיתים התכנסות זו נרשמת באופן הבא: $x_{n}\rightharpoonup x$ .

תכונות

אם סדרת נקודות $(x_{n})$ מתכנסת ל־x אז היא מתכנסת אליו חלש לפי אי שוויון קושי שוורץ: $\langle x_{n},y\rangle -\langle x,y\rangle =\langle x_{n}-x,y\rangle \leq \|x_{n}-x\|\|y\|\rightarrow 0$ .
כמו כן מאי שוויון קושי שוורץ נובע שהנורמה היא רציפה למחצה מלמטה: אם $(x_{n})$ מתכנסת חלש ל־x אז $\lim _{n\to \infty }\langle x_{n},x\rangle =\|x\|^{2}$ ומקושי שוורץ נקבל ש־ $\|x\|^{2}=lim_{n\to \infty }\langle x,x_{n}\rangle \leq \liminf _{n\to \infty }\|x_{n}\|\|x\|$ .
מצד שני אם סדרת נקודות $(x_{n})$ מתכנסת חלש ל x וכן $lim_{n\to \infty }\|x_{n}\|=\|x\|$ אז $(x_{n})$ מתכנסת ל x: $\|x-x_{n}\|^{2}=\langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,x\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0$ .
ממשפט בנך שטיינהוס, נובע שכל סדרה מתכנסת חלש היא חסומה. מצד שני לכל סדרה חסומה יש תת-סדרה מתכנסת חלש.

משפט בנך-סאקס

משפט בנך–סאקס מספק קשר נוסף בין התכנסות להתכנסות חלשה:

תהי $(x_{n})$ סדרה המתכנסת חלש ל־x אזי יש ל־x תת-סדרה המתכנסת בממוצע ל־x: $\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}=x$ .

הוכחה: בה"כ x=0. כמו כן $(x_{n})$ מתכנסת חלש ולכן חסומה על ידי M. נגדיר את הסדרה $(n_{k})$ באופן הבא הבא: $n_{1}=1$ וכן בהינתן $n_{j}$ לכל j<k מתקיים מההתכנסות החלשה ש־ $\langle x_{n},x_{n_{j}}\rangle \rightarrow 0$ לכל j<k ולכן יש m כך ש־ $|\langle x_{m},x_{n_{j}}\rangle |<{\tfrac {1}{k}}$ לכל j<k. נבחר את $n_{k}$ להיות ה־m הראשון המקיים זאת. מתקיים: $\|{\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}\|^{2}={\frac {1}{N^{2}}}(\sum _{k=1}^{N}\|x_{n_{k}}\|^{2}+2\Re (\sum _{1\leq i<j\leq N}\langle x_{n_{i}},x_{n_{j}}\rangle ))\leq {\tfrac {NM^{2}+2\sum _{k=1}^{N-1}{\tfrac {k}{k+1}}}{N^{2}}}\leq {\tfrac {M^{2}+2}{N}}\rightarrow 0$ ונקבל את הדרוש.

הערה: למעשה המשפט נכון לכל מרחב בנך קמור במידה שווה (למשל מרחב $\mathbb {L} ^{p}$ כאשר $1<p<\infty$ )^[1].

דוגמאות

תהי $e_{n}$ מערכת אורתונורמלית. כיוון ש־ $\|e_{n}\|=1$ , ברור ש־ $e_{n}$ איננה שואפת לאפס. עם זאת, נראה שהיא שואפת חלש לאפס. אכן יהי $x\in H$ . מאי שוויון בסל נקבל $\sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}$ ובפרט הטור מתכנס ולכן אבריו שואפים לאפס. לכן $|\langle e_{n},x\rangle |\rightarrow 0$ ולכן $e_{n}$ שואפת חלש לאפס.