הצגה של הפרש ריבועים באמצעות הפרשי שטחי ריבועים :
a
{\displaystyle a}
a
2
{\displaystyle a^{2}}
b
{\displaystyle b}
b
2
{\displaystyle b^{2}}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
במתמטיקה , הפרש ריבועים הוא ביטוי מהצורה
a
2
−
b
2
{\displaystyle a^{2}-b^{2}}
אחת הזהויות המוכרות ביותר באלגברה בסיסית היא
a
2
−
b
2
=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
הוכחה: נפתח את הסוגריים בביטוי
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
{\displaystyle (a+b)(a-b)}
חוק הפילוג :
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
(
a
+
b
)
a
−
(
a
+
b
)
b
=
a
2
+
b
a
−
a
b
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=a^{2}+ba-ab-b^{2}}
מכיוון שכפל הוא פעולה חילופית (כלומר
a
b
=
b
a
{\displaystyle ab=ba}
b
a
−
a
b
=
0
{\displaystyle ba-ab=0}
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)
=
a
2
+
(
b
a
−
a
b
)
−
b
2
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}+(ba-ab)-b^{2}=a^{2}-b^{2}}
והתקבלה הזהות הרצויה.
בהוכחת הזהות השתמשנו במעט מאוד תכונות של מספרים; התכונות היחידות שנדרשנו להן הן חוק הפילוג, חוק הקיבוץ וחילופיות הכפל. תכונות אלו מתקיימות בכל חוג חילופי, ולכן בחוג כזה מתקיימת זהות הפרשי הריבועים. מהוכחת הזהות נובע שגם ההפך נכון: חוג שמתקיימת בו זהות הפרש הריבועים לכל זוג איברים הוא חילופי.
בשדה המספרים המרוכבים זהות הפרש הריבועים מאפשרת לפרק גם סכום של ריבועים. מאחר ש-
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
מרוכבים :
a
2
+
b
2
=
a
2
−
(
b
i
)
2
=
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a^{2}-(bi)^{2}=(a+bi)(a-bi)}
לכל מספר מרוכב
z
=
a
+
i
b
{\displaystyle z=a+ib}
a
,
b
{\displaystyle a,b}
z
¯
=
a
−
b
i
{\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}
ערך מוחלט :
|
z
|
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
z
{\displaystyle z}
מישור גאוס ). לפי פירוק סכום הריבועים מתקיימת הזהות:
|
z
|
2
=
z
z
¯
{\displaystyle |z|^{2}=z{\bar {z}}}
שאלה בסיסית בתורת המספרים היא אלה מספרים טבעיים ניתנים להצגה כהפרש של שני מספרים ריבועיים . לשאלה זו פתרון פשוט יחסית בזכות קיומה של הזהות האלגברית הפשוטה.
אף מספר מהצורה
n
=
4
k
+
2
{\displaystyle n=4k+2}
חשבון מודולו 4:
0
2
≡
4
0
,
1
2
≡
4
1
2
2
≡
4
0
3
2
≡
4
1
{\displaystyle 0^{2}\equiv _{4}0,\quad 1^{2}\equiv _{4}1\quad 2^{2}\equiv _{4}0\quad 3^{2}\equiv _{4}1}
לכן מבדיקת כל האפשרויות עולה:
a
2
−
b
2
≢
2
≡
n
(
mod
4
)
{\displaystyle a^{2}-b^{2}\not \equiv 2\equiv n\,(\!{\bmod {4}})}
כל מספר אי-זוגי
n
=
2
k
+
1
{\displaystyle n=2k+1}
(
k
+
1
)
2
−
k
2
=
(
k
+
1
+
k
)
(
k
+
1
−
k
)
=
2
k
+
1
=
n
{\displaystyle (k+1)^{2}-k^{2}=(k+1+k)(k+1-k)=2k+1=n}
גם כל מספר מהצורה
n
=
4
k
{\displaystyle n=4k}
(
k
+
1
)
2
−
(
k
−
1
)
2
=
(
k
+
1
+
k
−
1
)
(
k
+
1
−
k
+
1
)
=
2
k
⋅
2
=
n
{\displaystyle (k+1)^{2}-(k-1)^{2}=(k+1+k-1)(k+1-k+1)=2k\cdot 2=n}
המסקנה היא שמספר טבעי הוא הפרש של שני מספרים ריבועיים אם ורק אם הוא משאיר שארית שונה מ-2 בחלוקה ב-4.
אלגוריתמים רבים לפירוק מספר שלם לגורמים מבוססים על התובנה שאם
n
=
a
b
{\displaystyle n=ab}
n
=
(
a
+
b
2
)
2
−
(
a
−
b
2
)
2
{\displaystyle n=\left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {a-b}{2}}\right)^{2}}
זהות הפרש הריבועים היא מקרה פרטי של זהות כללית של הפרש חזקות:
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
(
a
n
−
1
+
a
n
−
2
b
+
⋯
+
a
b
n
−
2
+
b
n
−
1
)
=
(
a
−
b
)
∑
k
=
0
n
−
1
a
n
−
1
−
k
b
k
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})=(a-b)\sum _{k\,=\,0}^{n-1}a^{n-1-k}b^{k}}
את הזהות ניתן להוכיח על ידי פתיחת סוגריים וצמצום הסכום הטלסקופי המתקבל.
