הנחיית Q

הנחיית Q היא שיטת הנחיה שנעשה בה שימוש בטילים בליסטיים, שמסלולם מורכב משלב ממונע קצר יחסית, שבה מערכת ההנעה של הטיל פועלת, ולאחריו שלב בליסטי אשר במהלכו הטיל מתכוון אל המטרה בהשפעת הכבידה (טילי שיוט משתמשים בשיטות הנחיה שונות). היעד של הנחיית Q הוא לפגוע במטרה ספציפית בזמן מסוים, שכן בגלל סיבוב כדור הארץ פגיעה במטרה בעלת קואורדינטות מסוימות פירושה פגיעה בה במיקום ובזמן מסוים.

השיטה פותחה במקור על ידי ד"ר הלקומב לנינג וד"ר ריכרד בטין במעבדת המכשור של המכון הטכנולוגי של מסצ'וסטס כשיטת הנחיה מדויקת לטילים בליסטיים אמריקניים.

יישומים מוקדמים

בזמן שהנחיית Q פותחה השיטה המתחרה העיקרית נקראה הנחיית דלתא. לפי מקנזי, הטילים טיטאן, מספר גרסאות של אטלס, ומיניוטמן 1 ו-2 השתמשו בהנחיית דלתא, בעוד שבהנחיית Q נעשה שימוש בת'ור ופולריס. מניתוח סרטוני שיגור, עולה, כי מספר טילים בליסטיים בין יבשתיים סובייטים מוקדמים השתמשו בהנחיית דלתא.

רקע: הנחיית דלתא

הנחיית דלתא מבוססת על הצמדות למסלול מתוכנן מראש, שמפותח לפני השיגור באמצעות מחשבים קרקעיים ונשמר במערכת ההנחיה של הטיל. במהלך המעוף, מערכת ההנחיה של הטיל מנטרת סטיות מן מסלול הייחוס, והמסלול האמיתי ממודל מתמטית כפיתוח טור טיילור מסביב למסלול הייחוס. בניסוח מתמטי, מערכת ההנחיה דלתא עושה שימוש בקשר פונקציונלי מסוים מהצורה $F(r,v,r_{T})=0$ (הקשר הפונקציונלי מתאפס על מסלול הייחוס). היעדר פרמטר זמן (זמן מוגדר לפגיעת הטיל) הוא מאפיין אינהרנטי של מערכת ההנחיה דלתא (קיימים מסלולי ייחוס אפשריים רבים). רגע כיבוי המנוע ( cut-off moment) מתוכנן להיות הרגע בו מסלול הטיל חותך את מסלול הייחוס. מערכת הבקרה של הטיל מנסה לאפס את סכום האיברים הליניאריים של הביטוי הזה, כלומר להביא את הטיל לקונפיגורצית מיקום-מהירות כזאת שמסלול הטיל החל מנקודת החיתוך יעבור דרך המטרה (האיברים מסדרים גבוהים יותר זניחים). מסיבה זו, להנחיית דלתא לעיתים מתייחסים כ-"לעוף לאורך הכבל" כאשר הכבל (הדמיוני) מתייחס למסלול הייחוס.

בניגוד להנחיית דלתא, הנחיית Q היא שיטה דינמית, תזכורת לתאוריה של תכנון דינמי. במהותה, גישת הנחיית Q גורסת כי "לא משנה היכן היינו אמורים להיות, בהינתן היכן אנו נמצאים השאלה היא מה אנו צריכים לעשות כדי להתקדם אל היעד של הגעה אל המטרה הדרושה בזמן הדרוש". כדי לבצע זאת השיטה מתבססת על קונספט המהירות הדרושה להשגה.

המהירות הדרושה להשגה (Velocity to be gained)

בזמן נתון t ובעבור מיקום נתון r של כלי הרכב, וקטור המהירות המתאים V_c מוגדר כדלהלן: אם לכלי הרכב הייתה המהירות V_c ומערכת ההנעה הייתה נכבית, אז הטיל יגיע למטרה הרצויה בזמן הרצוי תחת השפעת הכבידה.

המהירות האמיתית מסומנת ב-V_m והטיל נתון לתאוצה בהשפעת הכבידה g ובהשפעת המנועים a_t. המהירות הדרושה להשגה המתאימה מוגדרת כהפרש בין V_c ו- V_m:

$V_{TBG}=V_{c}-V_{m}$

ממערכת הייחוס העצמית של הטיל, המהירות הדרושה להשגה היא אפוא המהירות אליה יש לשאוף.

אסטרטגיית הנחיה פשוטה היא להפעיל תאוצה (דחף מנוע) תמיד בכיוון של VTBG. לזה יהיה את האפקט של קירוב המהירות האמיתית ל- V_c. כאשר שתי המהירויות נעשות שוות (ו- VTBG שווה לאפס), זה הזמן לכבות את המנועים, מכיוון שהטיל לפי ההגדרה מסוגל להגיע למטרה הרצויה בזמן הרצוי לבדו.

מה שנותר הוא איך לחשב את VTBG בקלות מהמידע על הטיל הנגיש למחשב ההנחיה (מיקומו, מהירותו ותאוצתו).

מטריצת Q

במשוואה הדיפרנציאלית הבאה נעשה שימוש כדי לחשב את המהירות הדרושה להשגה המתאימה ברגע נתון:

${\frac {dV_{TBG}}{dt}}=-a_{T}-QV_{TBG}$

כאשר מטריצת Q מוגדרת כ-: $Q=\left.{\frac {\partial V_{c}}{\partial r}}\right|_{r_{T},t_{f}}$.

כאשר Q היא מטריצה מסדר 3 על 3, סימטרית, ומשתנה בזמן. (הקו האנכי מתייחס לעובדה שהנגזרות החלקיות חייבות להיות מחושבות ביחס למיקום מטרה נתון rT וזמן מעוף חופשי tf). חישוב המטריצה ואיבריה מתבצע באמצעות שיקולים אנליטיים (חישוב שטח גזרה אליפטית) וגאומטריים על חיתוך של אליפסה ומעגל בעלי מוקד משותף (מרכז כדור הארץ) ומשיקולים פיזיקליים כמו שימור תנע זוויתי (החוק השני של קפלר) ושימור אנרגיה.

הניסיון מראה שמטריצת Q משתנה לאט מאוד, כך שרק מספר ערכים שלה המתאימים לשלבים שונים של המעוף צריכים להיות מחושבים ולהישמר במחשב הטיל. כך מתקבל בסיום תהליך החישוב מערך מספרים קבועים (למעט מספר עדכונים קלים) המשמשים את הטייס האוטומטי להנחות את הטיל עד אשר ניתן לכבות את המנוע (מערך המספרים מתאר נגזרות חלקיות של וקטור המהירות המתאימה תוך התייחסות לוקטור המיקום).

הבעיה היא כיצד לחשב את ערכי מטריצת Q בכל נקודה במרחב בהינתן זמן המעוף $t_{f}$ ומיקום המטרה $r_{T}$.

הוכחת המשוואה הדיפרנציאלית

ראשית נרשום $V_{TBG}=V_{C}-V$. תחילה נוכיח את המקרה בו $a_{T}=0$, כלומר שהתאוצה הקווית המורגשת על ידי מדי התאוצה היא 0 (נפילה חופשית בשדה כבידה). נפרק את הנגזרת ${\frac {dV_{TBG}}{dt}}$:

${\frac {dV_{TBG}}{dt}}={\frac {d(V_{C}-V)}{dt}}={\frac {dV_{C}}{dt}}-{\frac {dV}{dt}}=V*Q-g$.

במעבר האחרון השתמשנו בהגדרה של מטריצת Q ובעובדה ש-${\frac {dV}{dt}}$ שווה לוקטור תאוצת הכובד הרגעית g. מן ההגדרה של מטריצת Q נובעת הזהות : $g=Q*V_{C}$. לכן:

${\frac {dV_{TBG}}{dt}}=V*Q-V_{C}*Q=-V_{TBG}*Q$.

במקרה שהתאוצה הנמדדת שונה מאפס יש פשוט להוסיף רכיב ל-${\frac {dV}{dt}}$ נוסף ל-g וכך מתקבלת המשוואה הדיפרניצאלית לעיל.

חישוב מטריצת Q עבור תנועה פרבולית דו־ממדית

לאחר סיום השלב הממונע המהירות בציר x קבועה לכן ברור ש- $X=V_{x}*t_{f}$ כאשר X הוא המרחק האופקי למטרה ומכאן $dV_{x}/dx$ שווה ל- $1/t_{f}$. התנועות בציר x וציר y בלתי תלויות ולפיכך האיברים לאורך האלכסון במקומות (1,2) ו- (2,1) הם 0. לצורך חישוב האיבר dVy/dy נבצע את הניסוי המחשבתי הבא: נניח כי משחררים ממנוחה כדור מגובה y אל הרצפה והוא נוחת על הרצפה כעבור זמן $t_{f}$ . כעת נניח כי לוקחים כדור נוסף ומשחררים אותו בגובה נמוך יותר ב- ∆y ומשחררים אותו בו זמנית ביחד עם הכדור הראשון. ברור כי יש לשחרר אותו עם מעט מהירות אנכית מעלה (או מטה ∆y שלילי) אם על מנת ששניהם יפגעו בקרקע באותו זמן. מרגע שחרורם על שני הכדורים פועלת תאוצה אנכית זהה מטה g ולכן הפרש המהירויות או המהירות היחסית שלהם נותר קבוע. לפיכך על מנת ששניהם ינחתו באותו זמן צריך להתקיים ש- Vy או Vy ∆ יקיים ∆y = tf Vy*. לפיכך האיבר (2,2) במטריצה גם הוא 1/tf. לפיכך מטריצת Q המתאימה היא:

${\begin{vmatrix}1/t_{f}&0\\0&1/t_{f}\end{vmatrix}}$ כאשר tf = T-t ׁׁ(T הוא הזמן בו הטיל יגיע אל המטרה ו-t הוא הזמן הנוכחי) והמשוואה הדיפרנציאלית המתארת את השתנות המהירות הדרושה להשגה היא:

${\frac {dV_{TBG}}{dt}}=-a_{T}-{\begin{vmatrix}1/t_{f}&0\\0&1/t_{f}\end{vmatrix}}V_{TBG}$.

חישוב מטריצת Q במקרה הכללי (של שדה היפוך ריבועי)

פיתוח מתמטי

בחלק זה נציע אלגוריתם לחישוב איברי מטריצת Q במקרה הכללי של שדה היפוך ריבועי (Inverse square law). נסמן את שתי שמורות התנועה (האנרגיה הכוללת והתנע הזוויתי) ב-E ו-L. מתקיים: $E_{k}(R)=E+GMm/R$. כמו כן מתקיים בנקודות של המרחק המרבי והמינימלי מהמוקד: $p(R)^{2}/2m=L^{2}/2mR^{2}=E_{k}(R)$ . כך נקבל משוואה ריבועית שפתרונותיה הם המרחק המרבי $R_{1}$ והמרחק הקטן ביותר $R_{2}$ מהמוקד: .$ER^{2}+GMmR-L^{2}/2m=0$ פתרונות המשוואה הם: האקסצנטריות היא : $\epsilon ={\frac {R_{1}-R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}={\sqrt {1+4EL^{2}/2m(GMm)^{2}}}$ .

והלטוס רקטום (Latus Rectum) הוא: $l=a(1-\epsilon ^{2})=1/2(R_{1}+R_{2})(1-\epsilon ^{2})={\frac {L^{2}}{GMm^{2}}}$

חישוב שטח גזרה אליפטית:

משוואת אליפסה בקואורדינאטות פולריות היא: $r(\theta )={\frac {l}{1-\epsilon \cos \theta }}$. לכן שטח גזרה אליפטית הוא (פתרון האינטגרל מסובך למדי ונציג כאן רק תשובה סופית):

${\frac {l^{2}}{2}}\int {\frac {1}{(1-\epsilon \cos \theta )^{2}}}d\theta$ = ${\frac {l^{2}}{2}}$ (${\frac {\epsilon \sin \theta }{(\epsilon ^{2}-1)(\epsilon \cos \theta -1)}}$ + $2\tanh ^{-1})){\frac {(\epsilon +1)(\tan \theta /2)}{\sqrt {\epsilon ^{2}-1}}})/(\epsilon ^{2}-1)^{3/2}$.

תיאור האלגוריתם:

E ו-L במיקום הנתון של הטיל (עבורו יש לחשב את מטריצת Q) $r_{0}$, מגדירים באופן חד חד ערכי את וקטור מהירות הטיל המתאים (גודלו וכיוונו). שני התנאים שהמסלול האליפטי חייב לעבור דרך מיקום המטרה $r_{T}$, וזאת כעבור זמן $t_{f}$, מאפשרים לבנות מערכת של שתי משוואות עם שני נעלמים E ו-L, אותם אפשר למצוא ובכך להגדיר את מהירות הטיל המתאימה $v_{C}$ בהתאם לכללים הבאים: $(v_{r},v_{\theta })=({\sqrt {2(E/m+GM/R)-(L/mR)^{2}}},L/mR)$

ממשוואת האליפסה בקואורדינטות פולריות ניתן לחלץ את $cos\theta _{0}$, כאשר $\theta _{0}$ הוא הזווית עם הציר הראשי של האליפסה של וקטור מיקום הטיל, כך (שכן המרחק למוקד שהוא מרכז כדור הארץ ידוע): $cos\theta _{0}=1/\epsilon (1-l/R)$. הזווית בין וקטור מיקום הטיל $r_{0}$ לוקטור מיקום המטרה $r_{T}$ נתונה ונסמנה $\vartriangle \theta$, ולכן ניתן להביע את $cos(\theta _{0}+\vartriangle \theta )$ בהתאם לזהות הטריגונומטרית: $cos(\theta _{0}+\vartriangle \theta )=\cos \theta _{0}cos\vartriangle \theta -\sin \theta _{0}\sin \vartriangle \theta$. הצבת $\epsilon$ ו-l בביטויים ל-$cos\theta _{0}$ ו-$sin\theta _{0}$ ושימוש בעובדה ש-$R_{T}=R_{E}$ (מרחק המטרה מהמוקד הוא רדיוס כדור הארץ) ובביטוי לאליפסה בקואורדינטות פולריות מאפשר להרכיב משוואה אחת עם E ו-L, ולחלץ ממנה את L כתלות ב-E. לאחר מכן ניתן להיעזר בתנאי השני על זמן המעוף $t_{f}$ כדי למצוא את E ולאחר מכן למצוא את L, ובכך למצוא את וקטור המהירות המתאים $v_{C}=(v_{r},v_{\theta })$.

לא נפרט כאן את האלגברה, אך בתום תהליך אלגברי ארוך הביטוי המתקבל ל-E כתלות ב-L מהתנאי הראשון הוא:

$E={\frac {(GM)^{2}m^{3}}{2L^{2}}}(\cos \vartriangle \theta -1+L^{2}/GMm^{2}(1/R_{E}-\cos \vartriangle \theta /R)+(1-L^{2}/GMm^{2}R)^{2})/((sin\vartriangle \theta )^{2}-1)$.

זהו למעשה התנאי לקשר בין E ו-L הדרוש כדי שמסלול פלנטרי בהשפעת כבידה (אליפטי) יעבור דרך שתי נקודות נתונות (כשהמוקד נתון).

כדי להכניס את זמן המעוף $t_{f}$ למשוואות יש לחלק את שטח הגזרה האליפטית בקצב כיסוי השטח של הרדיוס וקטור (שכן לפי החוק השני של קפלר הרדיוס וקטור מכסה שטחים בקצב קבוע). קצב כיסוי השטח הוא $v_{\theta }r/2=L/2m$. לפיכך מתקיים: $2Sm/L=t_{f}$.

במקרה של טילים בליסטיים ניתן להניח בקירוב טוב $R=R_{E}$ (החלק הממונע של מעוף הטיל מתרחש ברובו כשהטיל עדיין קרוב מאוד לפני הקרקע), ובכך מתקבל $\cos(\theta _{0}+\vartriangle \theta )=\cos \theta _{0}$ לכן: $\theta _{0}+\vartriangle \theta =-\theta _{0}=\vartriangle \theta /2$ (שכן האליפסה סימטרית מסביב לציר הראשי שלה). לכן במקרה של טילים בליסטיים הביטוי לאינטגרל בין הגבולות $\theta _{0}$ ו-$\theta _{0}+\vartriangle \theta$ מתפשט ל-:

${\frac {l^{2}}{2}}({\frac {2\epsilon \sin \vartriangle \theta /2}{(\epsilon ^{2}-1)(\epsilon \cos \vartriangle \theta /2-1)}}+4\tanh ^{-1})){\frac {(\epsilon +1)(tan\vartriangle \theta /4)}{\sqrt {\epsilon ^{2}-1}}})/(\epsilon ^{2}-1)^{3/2})$

הדרך למצוא את איברי מטריצת Q היא נומרית. הניסיון מראה שמטריצת Q משתנה לאט מאוד, כך שרק מספר ערכים שלה המתאימים לחלקים שונים של שלב המעוף הממונע צריכים להישמר במחשב הטיל. דרך אחת היא להציב ערכים של L בביטוי לעיל ולקבל כך זוגות (E,L) מהם מפתחים את האקצנטריות ואת שאר הקבועים שבתנאי לזמן המעוף, ולאחר מכן מציבים את הקבועים ומוצאים את זמן המעוף. L צריך להיבחר כך שיתקיים שהוא מסדר גודל של: $R_{E}\vartriangle \theta =v_{\theta }t_{f}=L/(mR_{E})t_{f},L=m(R_{E})^{2}\vartriangle \theta /t_{f}$ (כלומר שהטיל יעבור את המרחק בין שתי הנקודות על כדור הארץ בזמן $t_{f}$, בהנחה שהוא נע בעקום גאודזי ביניהם). ניתן להציב כפולות רציונליות גדולות מ-1 של הגודל של L שמופיע לעיל (מונה המספרים הרציונליים נבחר לפי דרגת הקרבה הרצויה של זמן המעוף ל-$t_{f}$) ולבחור את הכפולה עבורה מתקבל זמן מעוף קרוב ביותר ל-$t_{f}$. לאחר מכן יש לבצע אותו תהליך לגבי מיקום מעט שונה של הטיל, ולמצוא את 9 הנגזרות החלקיות המתאימות. הדרך המעניינת והמאתגרת יותר, מבוססת על פיתוח אלגוריתמים יעילים להערכת הביטוי לזמן המעוף. אלגוריתמים כאלה צריכים למצוא קיצורי דרך אלגבריים בביטויים המתקבלים באמצעות הצבות מתאימות, ולהיעזר בשיטות איטרטיביות להערכת הביטוי לזמן המעוף. פיתוח כזה דורש ידע רב במתמטיקה טהורה. בימים הראשונים של הטילים הבליסטיים, כאשר המחשבים היו אנלוגיים, האתגר שעמד בפני המדענים שפיתחו את מערכת ההנחיה Q היה בפיתוח תהליך מתמטי יעיל להערכת הביטויים המתקבלים, כאלה שלא יעמיסו יותר מידי על מחשבי הטיל ויצריכו כח מחשובי רב מידי.

• הערה - טיל בליסטי מתחיל את מעופו (מכן השיגור) כשהוא נע אנכית לפני הקרקע. הזווית המדויקת באזימוט אליה יש לפנות לאחר מכן, כמו גם ה-$\vartriangle \theta$ (הזווית המרכזית במעגל הגדול המתאים) שמופיע במשוואות לעיל, ניתנים לחישוב מטריגונומטריה ספירית לגבי מיקום נקודות השיגור והמטרה (כשנתונים קווי האורך והרוחב המדויקים שלהם). אם נתונים מיקומיהם בקווי אורך ורוחב של כן שיגור הטיל הבליסטי והמטרה כ-$(\theta _{1},\phi _{1})$ ו-$(\theta _{2},\phi _{2})$ אז כדי לחשב את $\vartriangle \theta =\alpha$ נעזרים בנוסחה הבאה: $cos\alpha =cos\phi _{1}cos\phi _{2}cos(\theta _{2}-\theta _{1})+sin\phi _{1}sin\phi _{2}$. כדי לחשב את הזווית (האזימוט) נעזרים בנוסחה הבאה: $cos\beta ={\frac {sin(\phi _{2}-\phi _{1})}{2tan(\alpha /2)}}+sin({\frac {\alpha }{2}})sin({\frac {\phi _{2}-\phi _{1}}{2}})$. תוצאה זאת מתקבלת ממציאת ההיטלים של הקשתות במשולש הקשתי המתקבל על מישור קודקודי המשולש ולאחר מכן הפעלת משפט פיתגורס בטריגונומטריה ספירית פעמיים.

אסטרטגיות הנחיה

אסטרטגיית הנחיה של טיל בליסטי תיקרא כך אם היא מהווה שיטה מסוימת לפיה יש לנהג וקטורית את הטיל כך שהמהירות הדרושה להשגה תתאפס, כלומר שכל רכיביה יתאפסו סימולטנית. אסטרטגיית הנחיה פשוטה תהיה להפעיל דחף מנוע תמיד בכיוון המהירות הדרושה להשגה. אם מציגים את הבעיה כ-"תנועה" לאורך "נתיב" במרחב המהירות, באופן שהתאוצה של הטיל תהיה "מהירות" הטיל ונגזרת המהירות הדרושה להשגה לפי הזמן תהיה מהירות ה-"מטרה", אזי אסטרטגיית הנחיה זו שקולה להנחיית מרדף, ולכן נקל לראות כי קיימות אסטרטגיות הנחיה טובות יותר.

ניתן ליישם את הגישה של ניווט יחסי למרחב המהירות ולקבל מסלול קצר יותר. לגישה כזו מספר יתרונות:

• בדרך זו מאפסים את המהירות הדרושה להשגה באמצעות כמות קטנה יותר של דלק.
• נמנעים אי דיוקים בחישובי המערכת כתוצאה משינוי גודל תאוצת הטיל עקב פרופיל צריכת הדלק של המנוע.
• אפשר לשנות את כיוון דחף המנוע בצורה מתונה יותר ובכך להימנע מאי דיוקים הקשורים באינרציה של צינור הפליטה, שכן ניווט יחסי דורש פחות תאוצה מהנחיית רדיפה.