הלמה של גאוס (תורת המספרים)

הלמה של גאוס (על שם המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס) היא למה בתורת המספרים, המספקת תנאי למספר טבעי להיות שארית ריבועית.

על אף שהלמה אינה יעילה ככלי חישוב, יש לה חשיבות תאורטית, כטענת עזר בהוכחות רבות של משפט ההדדיות הריבועית.

למה

יהי $p$ מספר ראשוני אי-זוגי, ויהי $a$ מספר זר ל-$p$.

אם $n$ מספר המספרים בקבוצה $S=\left\{a,2a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a\right\}$ בעלי שארית גדולה מ-${\frac {p}{2}}$ בחלוקה ל-$p$, אזי $\left({\frac {a}{p}}\right)=(-1)^{n}$, כאשר אגף שמאל הוא סימן לז'נדר.

הוכחה

$a$ זר ל-$p$, ולכן כל ${\frac {p-1}{2}}$ המספרים בקבוצה $S$ שונים זה מזה מודולו $p$.
תהיינה $r_{1},\ldots ,r_{m}$ שאריות החילוק הקטנות מ-${\frac {p}{2}}$, ותהיינה $s_{1},\ldots ,s_{n}$ שאריות החילוק הגדולות מ-${\frac {p}{2}}$.
המספרים $r_{1},\ldots ,r_{m},p-s_{1},\ldots ,p-s_{n}$ כולם חיוביים וקטנים מ-${\frac {p}{2}}$. יתרה מזו, אלה מספרים שונים מודולו $p$:
נניח בשלילה כי $r_{i}=p-s_{j}$. אזי קיימים $1\leq k_{1}\neq k_{2}\leq {\frac {p-1}{2}}$ עבורם

${\begin{aligned}&k_{1}a\equiv r_{i}\!\!\!\!{\pmod {p}}\\&k_{2}a\equiv s_{j}\!\!\!\!{\pmod {p}}\\&k_{1}a+k_{2}a\equiv r_{i}+s_{j}=p\equiv 0\!\!\!\!{\pmod {p}}\\&(k_{1}+k_{2})a\equiv 0\!\!\!\!{\pmod {p}}\\&k_{1}+k_{2}\equiv 0\!\!\!\!{\pmod {p}}\end{aligned}}$

אך $1<k_{1}+k_{2}<p-1$. סתירה.

המספרים $r_{1},\ldots ,r_{m},s_{1},\ldots ,s_{n}$ שקולים כמובן לאיברים $a,2a,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}a$ בסדר כלשהו.
המספרים $r_{1},\ldots ,r_{m},p-s_{1},\ldots ,p-s_{n}$ שווים לאיברים $1,2,\ldots ,{\frac {p-1}{2}}$ בסדר כלשהו. מתקיים

${\begin{aligned}r_{1}\cdots r_{m}\cdot (p-s_{1})\cdots (p-s_{n})=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\equiv r_{1}\cdots r_{m}\cdot (-s_{1})\cdots (-s_{n})\!\!{\pmod {p}}\\\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\equiv (-1)^{n}a^{(p-1)/2}\left({\frac {p-1}{2}}\right)!\!\!{\pmod {p}}\\a^{(p-1)/2}\equiv (-1)^{n}\!\!\!{\pmod {p}}\end{aligned}}$

אך לפי מבחן אוילר $\left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}\!\!\!{\pmod {p}}$.

ראו גם

• משפט ההדדיות הריבועית