יחס כפול

בהינתן רביעיית נקודות $(a,b,c,d)$ במישור (הממשי או המרוכב), היחס הכפול ביניהן מוגדר בנוסחה: ${\frac {(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}}$. שמו של היחס הכפול מגיע מכך שהוא מתאר את היחס בין היחס ${\frac {(a-c)}{(a-d)}}$ ובין היחס ${\frac {(b-c)}{(b-d)}}$.

היחס הכפול הוא שמורה של העתקת מביוס ושל העתקות פרויקטיביות.

בגלל האופי הסימטרי של ביטוי היחס הכפול, תמורות בין ארבע הנקודות $(a,b,c,d)$ יניבו לכל היותר שישה ערכים שונים של היחסים הכפולים ביניהן. למשל, אם נחליף את $(a,b,c,d)$ ב-$(b,a,d,c)$ נקבל את הביטוי ${\frac {(b-d)(a-c)}{(b-c)(a-d)}}$, השווה ליחס הכפול המקורי.

ככלל, בהינתן רביעיית נקודות בעלת יחס כפול $\lambda$, שינוי סדר הקואורדינטות בה יניב את הערכים הבאים:

תמורה	תיאור קצר	ערכו של היחס הכפול
$(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})$	תמורת הזהות	$\lambda$
$(z_{1},z_{2};z_{4},z_{3})$	$z_{3}\leftrightarrow z_{4}$	${\frac {1}{\lambda }}$
$(z_{1},z_{3};z_{2},z_{4})$	$z_{2}\leftrightarrow z_{3}$	$1-\lambda$
$(z_{1},z_{3};z_{4},z_{2})$	$z_{2}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{2}$	${\frac {1}{1-\lambda }}$
$(z_{1},z_{4};z_{3},z_{2})$	$z_{2}\leftrightarrow z_{4}$	${\frac {\lambda }{\lambda -1}}$
$(z_{1},z_{4};z_{2},z_{3})$	$z_{2}\leftarrow z_{3}\leftarrow z_{4}\leftarrow z_{2}$	${\frac {\lambda -1}{\lambda }}$

היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית

ליחס הכפול ישנה הגדרה שונה ושקולה בגאומטריה פרויקטיבית: יהיו $a={\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}},\ b={\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\end{pmatrix}},\ c={\begin{pmatrix}c_{0}\\c_{1}\end{pmatrix}},\ d={\begin{pmatrix}d_{0}\\d_{1}\end{pmatrix}}$ ארבע נקודות על הישר הפרויקטיבי. כן תהיה $T$ העתקה פרויקטיבית המקיימת $T(a)=\infty$, $T(b)=0$ ו־$T(c)=1$. היחס הכפול בגאומטריה פרויקטיבית מוגדר להיות $T(d)$.

הוכחת השקילות

מהיות $a,b,c$ שלוש נקודות בעלות שתי דרגות חופש, ניתן לבטא את $c$ כצירוף ליניארי: $c=\alpha a+\beta b$. אולם, מכיוון שנקודות על הישר הפרויקטיבי אינן משתנות תחת כפל בקבוע, נסמן מחדש $a=\alpha a$ ו־$b=\beta b$. כלומר, מתקיים $T(\alpha a)=(1,0)$ (נקודת האינסוף בקואורדינטות הומוגניות) וכן $T(\beta b)=(0,1)$ (נקודת האפס בקואורדינטות הומוגניות).

כמו את $c$, ניתן לבטא גם את $d$ כצירוף ליניארי: $d=\gamma a+\delta b$. מכך נובע: $$T(d)=T\left({\frac {\gamma }{\alpha }}(\alpha a)+{\frac {\delta }{\beta }}(\beta b)\right)={\frac {\gamma }{\alpha }}(1,0)+{\frac {\delta }{\beta }}(0,1)=\left({\frac {\gamma }{\alpha }},{\frac {\delta }{\beta }}\right)=\left({\frac {\gamma \beta }{\alpha \delta }},1\right)$$

באמצעות נוסחת קרמר ניתן לקבל ביטויים מפורשים למקדמים α‏, β‏, γ ו־δ, ומהם לקבל את השקילות בין שתי ההגדרות.

קישורים חיצוניים

• יחס כפול, באתר MathWorld (באנגלית)
• יחס כפול, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)