פונקציה הומוגנית

במתמטיקה, פונקציה הומוגנית מסדר $n$ היא פונקציה אשר בעת שהארגומנטים בה מוכפלים במספר קבוע $c$, ערך הפונקציה מוכפל ב־$c^{n}$.

הגדרה מפורטת

תהי $f:V\to W$ פונקציה בין שני מרחבים וקטורים מעל לשדה $F$, ויהי $k$ מספר שלם.
אזי $f$ תיקרא הומוגנית מסדר $k$ אם $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )$ לכל $0\neq \alpha \in F$ ולכל $v\in V$.

כאשר המרחבים הווקטוריים הם מעל המספרים הממשיים מגדירים פונקציה הומוגנית חיובית מסדר $k$ כאשר הדרישה $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )$ צריכה להתקיים רק עבור $\alpha >0$ חיובי, ו-$k$ יכול להיות כל מספר מרוכב.

כמו כן, במקרה שבו $F$ הוא שדה הממשיים או המרוכבים, מגדירים פונקציה הומוגנית בהחלט מסדר $k$ אם מתקיים $f(\alpha \mathbf {v} )=|\alpha |^{k}f(\mathbf {v} )$ לכל $\alpha \in F$.

דוגמאות

העתקות ליניאריות

כל העתקה ליניארית $f:V\to W$ היא פונקציה הומוגנית מסדר 1 שכן על פי הגדרת הליניאריות: $f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )$ לכל $\alpha \in F$ ולכל $v\in V$.

פולינומים הומוגניים

כל מונום (חד-איבר) ב-$n$ משתנים מגדיר פונקציה הומוגנית $f:F^{n}\to F$. לדוגמה, שטח של ריבוע $S(a)=a^{2}$ הוא מונום הומוגני $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ מסדר שני, כי אם מכפילים את אורך הצלע בקבוע, מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה שנייה עם השטח הרגיל, כלומר $S(ca)=c^{2}a^{2}=c^{2}S(a)$.

סכום של מונומים הומוגניים מאותו סדר מהווה פולינום הומוגני. לדוגמה: $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ הוא פולינום הומוגני מסדר 5.

פונקציות רציונליות

הפונקציה הרציונלית הנוצרת מחלוקה של שני פולינומים הומוגניים, היא פונקציה הומוגנית למעט בנקודות בהן הפונקציה במכנה מתאפסת.

כלומר אם $f$ פולינום הומוגני מסדר $m$ ו-$g$ פולינום הומוגני מסדר $n$, אזי ${\frac {f}{g}}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר $m-n$ בכל הנקודות חוץ מבשורשים של $g$.

פונקציות רציונליות הומוגניות מסדר 0, כגון ${\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{(x+2y+3z)^{2}}}$, מוגדרות היטב על הנקודות של המישור הפרויקטיבי.

פונקציה תת-ליניארית ונורמה-למחצה

כל פונקציה תת-ליניארית היא בהחלט הומוגנית חיובית מסדר 1, זאת על פי הגדרתה. לעומת זאת, כל נורמה-למחצה (ובפרט כל נורמה) היא הומוגנית בהחלט מסדר 1.

פונקציות הומגניות חלקיות

לעיתים הפונקציה היא הומוגנית מסדרים שונים עבור הפרמטרים השונים, כך למשל אנרגיה קינטית $E_{k}(m,v)={\frac {1}{2}}mv^{2}$ היא פונקציה הומוגנית מסדר שני עבור המהירות, כי אם מכפילים את המהירות בקבוע מקבלים מכפלה של אותו קבוע בחזקה השנייה עם האנרגיה הקינטית המקורית $E_{k}(m,cv)={\frac {1}{2}}mc^{2}v^{2}$, לעומת זאת עבור המסה זוהי פונקציה הומוגנית מסדר ראשון מכיוון שמתקיים $E_{k}(cm,v)={\frac {1}{2}}cmv^{2}$.

במקרים אחרים הפונקציה היא הומוגנית רק עבור חלק מהפרמטרים, למשל עבור התפרקות רדיואקטיבית מספר האטומים שנותרו בחומר לאחר פרק זמן $t$ נתון על ידי $N(N_{0},t,\tau )=N_{0}\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$, ובעוד שמתקיים $N(cN_{0},t,\tau )=cN(N_{0},t,\tau )$, קרי $N$ היא פונקציה הומוגנית מסדר ראשון עבור $N_{0}$, היא אינה הומוגנית במשתנים האחרים.

משפט אוילר לפונקציות הומוגניות

תהי $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ פונקציה חלקה אזי $f$ הומוגנית חיובית מסדר $k$ אם ורק אם:

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=\sum _{i\,=\,1}^{n}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=kf(\mathbf {x} )$

הוכחה

$\Leftarrow$: תהי $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ פונקציה חלקה והומוגנית חיובית מסדר $k$. אזי $f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )$. נגזור את שני האגפים לפי $a$ ונקבל

${\frac {df(a\mathbf {x} )}{da}}=\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=ka^{k-1}f(\mathbf {x} )$

מכיוון שהומוגניות היא תכונה שמתקיימת לכל $a$, נציב $a=1$ ונקבל $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$.

$\Rightarrow$: תהי $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ פונקציה חלקה המקיימת $\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$ לכל $\mathbf {x}$.

נבחר $\mathbf {x}$ כלשהו ונגדיר $g(a)=a^{-k}f(a\mathbf {x} )$. כעת:

${\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )$

נציב $a\mathbf {x} \cdot \nabla f(a\mathbf {x} )=kf(a\mathbf {x} )$ ונקבל

${\frac {dg}{da}}=-ka^{-k-1}f(a\mathbf {x} )+a^{-k}{\frac {kf(a\mathbf {x} )}{a}}=0$

לכן $g$ היא פונקציה קבועה.

נשים לב כי $g(1)=f(\mathbf {x} )$, לכן לכל $a>0$ מתקיים $g(a)=f(\mathbf {x} )$. כלומר $f(a\mathbf {x} )=a^{k}f(\mathbf {x} )$

תוצאה

עבור פונקציה $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ גזירה והומוגנית חיובית מסדר $k$ נקבל כי ${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$ היא הומוגנית מסדר $k-1$. כלומר:

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\bigg |}_{cx}=c^{k-1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\bigg |}_{x}$

תוצאה זו מתקבלת מגזירת משפט אוילר לפי $x_{i}$. שכן על פי משפט אוילר:

$\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )$

נגזור לפי $x_{i}$ ונקבל

${\frac {\partial (\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} ))}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}+\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=k{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$

ולכן

$\mathbf {x} \cdot \nabla {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=(k-1){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}$

הפעלת הצד השני של משפט אוילר תיתן את התוצאה.

קישורים חיצוניים

• פונקציה הומוגנית, באתר MathWorld (באנגלית)