דרגה של אלגברה

באלגברה מופשטת, הדרגה של אלגברה מממד סופי היא המעלה של פולינום מינימלי גנרי של לאלגברה. הדרגה חסומה על ידי מימד האלגברה, ושווה לה במקרים מסוימים; למשל, הדרגה של הרחבת שדות ספרבילית שווה לממד. עם זאת, הדרגה יכולה להיות קטנה מהממד: הדרגה של אלגברת המטריצות $\ \operatorname {M} _{n}(F)$ היא $\ n$. לכן הדרגה חסומה על ידי מימד ההצגה הליניארית הקטנה ביותר של האלגברה. הדרגה אינה משתנה תחת הרחבת סקלרים.

הפולינום הגנרי

תהי A אלגברה (אסוציאטיבית, או לכל הפחות אלגברה לא אסוציאטיבית שהיא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט), מממד סופי מעל שדה F. נבחר בסיס $\ b_{1},\dots ,b_{n}$, ונתבונן באיבר $\ X=x_{1}b_{1}+\cdots +x_{n}b_{n}$ של האלגברה $\ A\otimes _{F}F(x_{1},\dots ,x_{n})$ המתקבלת מהרחבת סקלרים מ-F לשדה הפונקציות $\ F(x_{1},\dots ,x_{n})$. במקרה כזה, קיים פולינום מינימלי מתוקן P המאפס את X, והוא נקרא הפולינום המינימלי הגנרי של A. הדרגה שווה למעלה של P.

לדוגמה, הדרגה של אלגברת המטריצות $\ M_{m}(F)$ היא m; וזו גם הדרגה של כל אלגברה פשוטה מממד $\ m^{2}$ מעל למרכז שלה. אם $\ A_{1},A_{2}$ הן אלגברות מעל אותו שדה, אז דרגת הסכום הישר שלהן היא הדרגה הגדולה מבין השתיים.

אלגברות (אפילו שאינן אסוציאטיביות) מדרגה 2 נקראות אלגברות ריבועיות.