דטרמיננטת דיידונה

בתורת החוגים, דטרמיננטת דודונה היא הכללה של הדטרמיננטה ממטריצות מעל חוגים קומוטטיביים, אל מטריצות מעל חוג מקומי כלשהו (לרבות שאינו קומוטטיבי). הדטרמיננטה נקראת כך על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אן דודונה שהמציא אותן ב-1943.

לכל חוג קומוטטיבי $F$, הדטרמיננטה היא הומומורפיזם $\operatorname {GL} _{n}(F)\rightarrow F^{\times }$ מחבורת המטריצות ההפיכות אל החבורה הכפלית של $F$. אם $D$ חוג לא קומוטטיבי לא קיימת פונקציה כזו. במקומה, אם $R$ חוג מקומי (בפרט: אם $R$ חוג פשוט, ובמיוחד חוג עם חילוק), קיימת פונקציה יחידה אל האבליזציה, $\operatorname {det} \,{:}\,\operatorname {GL} _{n}(R)\rightarrow R^{\times }/[R^{\times },R^{\times }]$, המקיימת את התכונות הבאות:

1. אם $A'$ מתקבלת מהוספת כפולה (שמאלית) בסקלר של שורה אחת לשורה אחרת במטריצה $A$, אז $\operatorname {det} (A')=\operatorname {det} (A)$;
2. אם $A'$ מתקבלת מהכפלת שורה של המטריצה $A$ בקבוע $a$, אז $\operatorname {det} (A')=a\operatorname {det} (A)$;
3. $\operatorname {det} (I)=1$.

הדטרמיננטה הזו כפלית, מחליפה סימן תחת החלפת שורות, ואינה מושפעת משחלוף המטריצה. אם $R$ חוג קומוטטיבי (מקומי), כגון שדה, אז זו הדטרמיננטה המוכרת מאלגברה ליניארית.

מקורות

• J. Rosenberg, Algebraic K-Theory and its applications, section 2.2.