גבול (טופולוגיה)

מושג הגבול בטופולוגיה מרחיב את מושג הגבול בחשבון אינפיניטיסמלי בפרט ובמרחבים מטריים בכלל.

נקודת גבול של קבוצה במרחב טופולוגי היא אבר (נקודה) במרחב הטופולוגי שבכל סביבה פתוחה שלה נמצאת נקודה אחרת השייכת לקבוצה. נקודת גבול של קבוצה נקראת גם נקודת הצטברות של הקבוצה.

מושג חשוב נוסף הוא גבול של סדרה, שהוא נקודה במרחב שהסדרה מתכנסת אליה (הגדרה מדויקת מופיעה בהמשך). מושג זה מכליל את מושג הגבול של סדרה מן החשבון האינפיניטסימלי.

במרחבים טופולוגיים המקיימים את תכונת המניה הראשונה, כגון מרחבים מטריים, קיים קשר חזק בין גבול של סדרה לגבול של קבוצה: נקודה היא נקודת גבול של קבוצה אם ורק אם קיימת סדרה של איברים מהקבוצה השונים מנקודה זו, המתכנסת אליה. קשר כזה אינו קיים במקרה הכללי: במרחבים שאינם מקיימים את תכונת המניה הראשונה, ייתכן שיש לקבוצה נקודת גבול, אך אין סדרה של אברי הקבוצה השונים מנקודה זו המתכנסת אליה.

כמו כן, במרחבים טופולוגיים שאינם מקיימים את תכונת המניה הראשונה, יש פונקציות השומרות על גבולות של סדרות מתכנסות ואינן רציפות; יש מרחבים שבהם לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת והם אינם קומפקטיים; ועוד. משום כך במרחבים טופולוגיים כלליים יש צורך להכליל את המושג של גבולות של סדרות למושג כללי יותר - גבולות של רשתות או מסננים, כפי שמפורט בהמשך

גבול של סדרה

יהא $X$ מרחב טופולוגי ותהא $(x_{n})$ סדרה של נקודות ב-$X$. נקודה $x\in X$ היא גבול של הסדרה ${x_{n}}$ אם בכל סביבה של x נמצאים כל אברי הסדרה למעט מספר סופי. במרחב מטרי אפשר לנסח את ההתכנסות במונחי המטריקה: הסדרה ${x_{n}}$ מתכנסת ל-$x$ אם לכל $\ \varepsilon >0$ מתקיים ממקום מסוים ואילך $d({x_{k}},x)<\varepsilon$.

גבול של רשת

קבוצה מכוונת היא קבוצה סדורה חלקית שבה לכל שני איברים $\ \delta ,\delta '$ קיים איבר $\delta ''$ שגדול משניהם. רשת במרחב X היא מערכת של נקודות $\ x_{\delta }$ במרחב, כאשר קבוצת האינדקסים היא קבוצה מכוונת. נקודה y היא גבול של הרשת אם לכל סביבה $\ y\in U$, אברי הרשת שייכים אליה לבסוף (כלומר קיים $\ \delta _{0}$ כך שאם $\ \delta >\delta _{0}$ אז $\ x_{\delta }\in U$). בניגוד לגבולות של סדרות, הכרת כל הגבולות של רשתות מאפשרת לשחזר את הטופולוגיה במלואה (כלומר, שתי טופולוגיות על X שעבורן לכל רשת יש אותן נקודות גבול, מוכרחות להיות שוות זו לזו).

דוגמאות

• במרחב טריוויאלי $\{X,\phi \}$, כל סדרה שהיא מתכנסת לכל נקודה שהיא. אכן, לכל סדרה, עבור נקודה מסוימת הסביבה היחידה שלה היא X עצמה, ו־X אכן מכילה (כמעט) את כל איברי הסדרה. זו דוגמה לכך שלא כל מרחב טופולוגי הוא מרחב האוסדורף, שכן סדרות לא מתכנסות לגבול יחיד.
• בכל מרחב טופולוגי, סדרה קבועה מתכנסת לערך הקבוע.
• במרחב דיסקרטי, כלומר ב-$(X,p(X))$, סדרה תתכנס ל-x אם ורק אם היא קבועה החל ממקום מסוים, שכן כמעט כל איבריה צריכים להיות מוכלים בקבוצה הפתוחה $\{x\}$.
• במרחב מטריזבילי, סדרה מתכנסת אם ורק אם היא מתכנסת לפי המטריקה במרחב המטרי המתאים.
• במרחב סירפינסקי, שנתון מעל הקבוצה $X=\{a,b\}$, עם הטופולוגיה $\{\{a,b\},\phi ,\{a\}\}$, כל סדרה תתכנס ל-b (שכן סביבתו היחידה היא X כולה), וסדרה תתכנס ל-a אם ורק אם כל איבריה הם a החל ממקום מסוים (שכן כמעט כל איבריה צריכים להיות מוכלים בסביבה $\{a\}$ של a).
• אם מרחב אחד מוכל במרחב אחר, אזי התכנסות סדרה במרחב הגדול, תגרור התכנסותה במרחב הקטן ולאותו הגבול. ההפך לא בהכרח נכון (למשל - בישר של סורגנפריי, הסדרה ${\{-{\frac {1}{n}}\}}_{n\in N}$ לא מתכנסת, אך היא מתכנסת בממשיים).

רשתות ומסננים

רשתות ומסננים הם כלים חזקים יותר מסדרות (סדרה היא רשת על המספרים הטבעיים). הם שקולים זה לזה (לכל רשת יש מסנן הנגזר ממנה, ולכל מסנן יש רשתות הנגזרות ממנו, וכולם מתכנסים יחד), ולכן נסתפק בהמשך בתיאור התוצאות בשפת הרשתות:

• בכל מרחב טופולוגי, נקודה שייכת לסגור של קבוצה A אם ורק אם יש רשת ב-A המתכנסת אליה;
• מרחב טופולוגי הוא האוסדורף אם ורק אם כל רשת מתכנסת לנקודה אחת לכל היותר;
• פונקציה בין מרחבים טופולוגיים היא רציפה אם ורק אם היא שומרת על גבולות של רשתות מתכנסות;
• מרחב הוא קומפקטי אם ורק אם לכל רשת יש תת-רשת מתכנסת;
• שתי טופולוגיות על מרחב X הן שוות אם ורק אם כל רשת המתכנסת באחת מהן מתכנסת גם בשנייה.

אף אחד מהמשפטים האלה אינו נכון באופן כללי עבור סדרות.

ראו גם

• גבול של סדרה
• נקודת הצטברות

מקורות

• Nets and Filters (are better than sequences)