בעיית חובק-המפיות

בגאומטריה, בעיית חובק-המפיות (napkin ring problem) קשורה בנפח של "רצועה" בגובה מוגדר סביב כדור, כלומר החלק שנותר לאחר קדוח חור בצורת גליל עגול דרך מרכז הכדור. מפתיע כי נפח זה אינו תלוי ברדיוס הכדור המקורי אלא רק בגובה הרצועה המתקבלת.

הבעיה נקראת כך כי לאחר הסרת גליל מהכדור, הרצועה הנותרת דומה לצורה של חובק מפיות(אנ').

טענה

נניח שהציר של גליל עגול ימני עובר דרך מרכז כדור ברדיוס $R$ ו- $h$ מייצג את גובה הגליל שנמצא בתוך הכדור. הרצועה (חובק המפיות) הוא החלק של הכדור שנמצא מחוץ לגליל. נפח הרצועה תלויה $h$ אבל לא ב $R$ : $V={\frac {\pi h^{3}}{6}}$

כאשר הרדיוס $R$ של הכדור קטן, גם קוטר הגליל קטן על מנת ש $h$ לא ישתנה. הרצועה נעשית עבה יותר, מה שמגדיל את נפחה. אך ההיקף של הרצועה קטן, מה שמקטין את נפחה. שני האפקטים הללו בדיוק מבטלים זה את זה. במקרה הקיצוני של הכדור הקטן ביותר האפשרי, הגליל נעלם (הרדיוס שלו הופך לאפס) והגובה $h$ שווה לקוטר הכדור. במקרה זה נפח הרצועה הוא נפח הכדור כולו, התואם את הנוסחה שניתנה לעיל.

הוכחה

נסמן ב- $R$ את רדיוס הכדור וב- $h$ את אורך הגליל .

לפי משפט פיתגורס רדיוס הגליל הוא

${\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}}\qquad \qquad (1)$ ורדיוס החתך האופקי של הכדור בגובה $y$ מעל "קו המשווה" הוא ${\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\quad \qquad \qquad (2)$

חתך הרצועה עם מישור בגובה $y$ הוא האזור בתוך מעגל הרדיוס הגדול שנתון על ידי (2) ומחוץ למעגל הקטן יותר של הרדיוס שנתון על ידי (1). שטח החתך הוא אם כן שטח המעגל הגדול פחות שטח המעגל הקטן יותר: $\pi \left({\sqrt {R^{2}-y^{2}}}\right)^{2}-\pi \left({\sqrt {R^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\,{}}}\,\right)^{2}=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right)$