אלומת אידיאלים

יהי $(X,O_{X})$ מרחב מחויג זאת אומרת מרחב טופולוגי $X$ עם אלומת חוגים $O_{X}$. אלומת אידיאלים $J$ ב-$O_{X}$. היא תת-אלומה של $O_{X}$-תת-מודולים ב-$O_{X}$. מושג זה חשוב בגאומטריה אלגברית שבה אלומות אידיאלים קוואזי-קוהרנטיות מתארים תת-סכימות סגורות ב-$X$.

אלומות אידיאלים ותת-סכמות

במקרה של סכמה אפינית

אם $X=Spec(A)$ סכימה אפינית, כל תת-סכמה סגורה שלה היא מהצורה $V(I)=Spec(A/I)$ עבור אידיאל $I\subset A$ מסוים. התאמה זו מגדירה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין תת-סכמות סגורות לבין אידיאלים במקרה אפיני.

עבור סכמה כללית

תהי $Z$ תת-סכמה סגורה בסכמה $X$. נבחר כיסוי אפיני $X=\bigcup U_{i}$ כאשר $U_{i}\cong Spec(A_{i})$. החיתוך $Z_{i}=Z\cap U_{i}$ הוא תת-סכמה סגורה ב-$U_{i}$ הניתנת על-ידי אידיאל $I_{i}\subset A_{i}$. אידיאלים אלה מגדירים אלומת אידיאלים קוואזי-קוהרנטיות ${\mathcal {I}}$ ב-${\mathcal {O}}_{X}$.

משפט. עבור סכמה $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, תהליך שתיארנו מגדיר התאמה חד-חד-ערכית ועל בין תת-סכמות סגורות ב-$X$ לבין אלומות אידיאלים קוואזי-קוהרנטיות של ${\mathcal {O}}_{X}$.

לקריאה נוספת

• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, II.5.9. ISBN 0-387-90244-9.