אלגברת ז'ורדן ריבועית

במתמטיקה, אלגברת ז'ורדן ריבועית היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.

הגדרה

יהי k חוג קומוטטיבי. אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל k היא מודול J, עם העתקה $U{\,:\,}J\rightarrow \operatorname {End} _{k}(J)$ (שמסמנים $\,U_{x}=U(x)$) ואיבר מיוחד $1\in J$, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J. ראשית, U היא העתקה ריבועית; כלומר, $\,U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x}$, ו-$\,U_{x,y}=U_{x+y}-U_{x}-U_{y}$ היא תבנית ביליניארית; שנית, $\,U_{1}={\bf {1}}$; ושלישית, מתקיימות הזהות היסודית $\,U_{U_{x}y}=U_{x}U_{y}U_{x}$, והזהות $\,U_{x}V_{y,x}=V_{x,y}U_{x}$ כאשר $\,V_{x,y}z=U_{x,z}y$.

באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים $\,\{xyz\}=U_{x,z}y$; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה $\,x\circ y=\{x1y\}=\{xy1\}=\{1xy\}$ היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטריליניארית, $\,U_{x,y},V_{x,y}$ הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.

הקשר לאלגברות ז'ורדן

כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה $\,xy={\frac {1}{2}}x\circ y$; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי $\,U_{x}=2L_{x}^{2}-L_{x^{2}}$ (כאשר $\,L_{x}y=xy$), ואז $\,\{xyz\}=2(x(zy)+z(xy)-(xz)y)$ (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים $\,U_{x}y=xyx$). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.

דוגמאות

אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה $\,U_{x}y=xyx$ הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-$A^{+}$. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא מיוחדת; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא יוצאת דופן.

איברים, אידיאלים ומנות

איבר x הוא הפיך אם הפונקציה $\,U_{x}$ המתאימה לו הפיכה (באלגברה $\,A^{+}$ איבר הוא הפיך במובן של אלגברות ז'ורדן אם ורק אם הוא הפיך כאיבר של A). האיבר היחיד y המקיים $\,U_{x}y=x$ הוא ההפכי של x, ומסמנים אותו ב-$x^{-1}$. אלגברה שבה כל האיברים (פרט ל-0) הפיכים היא אלגברת ז'ורדן ריבועית עם חילוק.

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם $\,U_{I}J,U_{J}I\subseteq I$. אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה פשוטה אם אין לה אידיאלים, ופשוטה לחלוטין אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית).

תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית, ויהי p איבר הפיך. אז J עם איבר היחידה $\,p^{-1}$ והפעולות $\,U'_{x}=U_{x}U_{p}$, גם היא אלגברת ז'ורדן ריבועית, איזוטופית לאלגברה המקורית. (אלגברות איזוטופיות אינן בהכרח איזומורפיות). אוסף האיזומורפיזמים מ-J לאיזוטופים שלו נקרא חבורת המבנה של J. אוסף ההעתקות ההפיכות $\,U_{x}$ יוצר תת-חבורה הנקראת חבורת המבנה הפנימית.