אלגברה ציקלית

באלגברה מופשטת, אלגברה ציקלית היא אלגברה פשוטה מרכזית המכילה תת-שדה (מקסימלי) המהווה הרחבת גלואה ציקלית מעל שדה הבסיס.

הגדרה

לאלגברה ציקלית מספר הגדרות שקולות.

הגדרה ישירה

תהי $\mathbb {K} /\mathbb {F}$ הרחבת גלואה ציקלית עם חבורת גלואה $G=Gal(\mathbb {K} /\mathbb {F} )=\langle \sigma \rangle$ מסדר $n$ , ויהי $\beta \in \mathbb {F} ^{\times }$ . נגדיר $A=\mathbb {K} \oplus \mathbb {K} z\oplus ...\oplus \mathbb {K} {z}^{n-1}$ (כמרחב וקטורי עם בסיס $\{1,z,...,{z}^{n-1}\}$ ), עם פעולת הכפל:

$(a{z}^{i})(b{z}^{j})={\begin{cases}a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j}\quad \quad \quad i+j<n\\\beta a{\sigma }^{i}(b){z}^{i+j-n}\quad i+j\geq n\end{cases}}$

בדיקה ישירה מראה שהפעולה מגדירה אלגברה פשוטה מרכזית הנקראת אלגברה ציקלית ומסומנת $(\mathbb {K} ,\sigma ,\beta )$ . (להוכחת טענות אלו ראו [Row]).

הגדרה באמצעות תת-שדה מקסימלי

תהי $A$ אלגברה פשוטה מרכזית מעל $\mathbb {F}$ . נאמר ש- $A$ אלגברה ציקלית אם קיים תת-שדה (מקסימלי) $\mathbb {F} \subseteq \mathbb {K} \subseteq A$ המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

הגדרה באמצעות יוצרים ויחסים

אלגברה ציקלית היא אלגברה בעלת הצגה על ידי יוצרים ויחסים: $A=\langle \mathbb {K} ,y|{y}^{m}=\beta ,ay=y\sigma (a)\quad \forall a\in \mathbb {K} \rangle$ .

שקילות ההגדרות

ההגדרה הראשונה שקולה לשנייה לפי המשפט:

משפט [Row, 24.45]: אלגברה פשוטה מרכזית $A$ היא אלגברה ציקלית (במובן ההגדרה הראשונה) אם ורק אם קיים עבורה תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית.

סקירת ההוכחה: בכיוון $\Rightarrow$ , תהי $G=\langle \sigma \rangle$ חבורת הגלואה. לפי משפט סקולם-נתר, יש $z$ כך ש- $za{z}^{-1}=\sigma (a)$ , ולכן גם $\forall i:{z}^{i}a=\sigma ^{i}(a){z}^{i}$ . לכן $\forall a\in \mathbb {K} :z^{n}a=\sigma ^{n}(a)z^{n}=az^{n}$ , כלומר $z^{n}$ שייך למרכז שהוא $\mathbb {K}$ , כלומר ${z}^{n}=\beta$ , ומתקיים $A\cong (\mathbb {K} ,\sigma ,\beta )$ .

שקילות ההגדרות השנייה והשלישית נובעת מהמשפט:

משפט [GS, 2.5.3]: אם אלגברה פשוטה מרכזית $A$ היא בעלת תת-שדה מקסימלי המהווה הרחבת גלואה ציקלית, אז A איזומורפית לאלגברה מהצורה $A=\langle \mathbb {K} ,y|{y}^{m}=\beta ,ay=\sigma (a)y\quad \forall a\in \mathbb {K} \rangle$ (סיגמא היוצר של חבורת הגלואה).

סקירת הוכחת המשפט: על פי משפט סקולם-נתר, האוטומורפיזם $\sigma$ של K הוא הצמדה באיבר כלשהו $y$ : $\forall x\in \mathbb {K} :{y}^{-1}xy=\sigma (x)$ . נגדיר $\beta =y^{m}$ , ונוכיח כי $y^{m}\in \mathbb {F}$ : משום ש- $x=\sigma ^{m}(x)=y^{-m}xy^{m}$ , כלומר $y^{m}\in K$ ; הפעלת ההצמדה על $y^{m}$ מראה כי $\sigma (y^{m})=y^{m}$ , ולכן $y^{m}\in \mathbb {F}$ . כעת, קל לבדוק כי $1,...,y^{m-1}$ בלתי תלויים ליניארית, ולכן מקבלים הדרוש.

דוגמאות

יהי $\mathbb {F}$ שדה, ויהי $m$ הפיך בשדה. עוד נניח כי $\mathbb {F}$ מכיל שורש יחידה פרימיטיבי מסדר $m$ , נסמנו $\omega$ . נגדיר $(a,b)_{\omega }=\langle x,y|x^{m}=a,y^{m}=b,xy=\omega yx\rangle$ . מקרה פרטי של הגדרה זו הוא אלגברת קווטרניונים, המתקבלת כאשר $m=2,\omega =-1$ .

לפי משפט [GS,4.3.9], כל הרחבה ציקלית כנ"ל אפשר לרשום בצורה

\mathbb {F} ({\sqrt[{m}]{a}})

. כל האלגברות הציקליות עבור

b\in \mathbb {F} ^{\times }

הן בדיוק

(a,b)_{\omega }

, עבור כל שורש יחידה

m

-פרימיטיבי

\omega

.

יהי $\mathbb {F}$ שדה ממאפיין ראשוני $p$ , ויהי $m=p$ . עבור $a,b\in \mathbb {F} ^{\times }$ , נביט ב- $[a,b)=\langle x,y|x^{p}-x=a,y^{p}=b,xy=y(x+1)\rangle$ . קל לראות שכל שורש של הפולינום $x^{p}-x-a$ מגדיר הרחבת גלואה ציקלית. לפי משפט [GS,4.3.13], כל הרחבת גלואה ציקלית כנ"ל היא מהצורה $\mathbb {F} [\alpha ]$ עבור אלפא עם שורש מינימלי $x^{p}-x-a=0$ .