אלגברה דיפרנציאלית מדורגת

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה דיפרנציאלית ובאלגברה הומולוגית, אלגברה דיפרנציאלית מדורגת היא קומפלקס שרשרת אשר יש עליו מבנה נוסף של כפל אשר מקיים כלל לייבניץ מדורג.

הגדרה

אלגברה דיפרנציאלית מדורגת היא אלגברה מדורגת A ביחד עם העתקת דיפרנציאל אדיטיבית d מדרגה 1- המקיימת:

1. $\,d\circ d=0$
2. $\,d(a\cdot b)=(da)\cdot b+(-1)^{|a|}a\cdot d(b)$

על פי התנאי הראשון, A היא קומפלקס שרשרת, ואילו על פי התנאי השני, הדיפרנציאל מקיים כלל לייבניץ מדורג.

דוגמאות

• קומפלקס קוזול של חוג A ביחס לקבוצת איברים הוא אלגברה דיפרנציאלית מדורגת.
• האלגברה הטנזורית של מרחב וקטורי מעל שדה היא אלגברה דיפרנציאלית, כאשר פעולת הדיפרנציאל מוגדרת בדומה לזו של קומפלקס קוזול.

שימושים

אחד השימושים החשובים לאלגבראות דיפרנציאליות מדורגות הוא שימוש בהן כמעין רזולוציות לחוגים. באלגברה הומולוגית מקובל להחליף מודול "בעייתי" M בקומפלקס שמורכב ממודולים בעלי התנהגות יפה שהוא קוואזי-איזומורפי לו (כלומר - הקומפלקס הוא רזולוציה של M). בדומה לכך, אם לחוג נתון A יש תכונות "בעייתיות", לעיתים ניתן להחליפו באלגברה דיפרנציאלית מדורגת B שהיא קוואזי-איזומרפית לו ובעלת "התנהגות יפה יותר". מתברר שהקטגוריה הנגזרת של מודולים מעל A שקולה לקטגוריה הנגזרת של מודולים מדורגים דיפרנציאלים מעל B, ולכן במקום לעשות אלגברה הומולוגית מעל החוג ה"בעייתי" A, אפשר לעבוד מעל האלגברה B.