האיבר הקטן ביותר והגדול ביותר

ערך זה דורש ידע מוקדם. אם אתם מתקשים להבין את הערך מומלץ לעיין ב:

יחס סדר

במתמטיקה, ובפרט בתורת הקבוצות, האיבר הקטן ביותר הוא איבר בתת-קבוצה של קבוצה סדורה שכל איברי אותה תת-קבוצה גדולים ממנו. באופן דומה, האיבר הגדול ביותר הוא איבר בתת-קבוצה של קבוצה סדורה שכל איברי אותה תת-קבוצה קטנים ממנו.

במקרים רבים נדרש לחקור האם לקבוצה מסוימת קיים איבר גדול ביותר או קטן ביותר. קיום של איבר כזה יכול ללמד רבות על תכונותיה של הקבוצה הכוללת.

לאיברים גדולים ביותר וקטנים ביותר חשיבות רבה במגוון רחב של תחומים במתמטיקה, לרבות תורת הקבוצות האקסיומטית, אופטימיזציה, אנליזה מתמטית, טופולוגיה ועוד.

הגדרה מתמטית

בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $S\subseteq A$, מגדירים כי:

1. איבר $s\in S$ ייקרא מינימום ב-$S$ (או האיבר הקטן ביותר ב-$S$) אם ורק אם לכל $a\in S$ מתקיים ש-$s\leq a$.
2. איבר $s\in S$ ייקרא מקסימום ב-$S$ (או האיבר הגדול ביותר ב-$S$) אם ורק אם לכל $a\in S$ מתקיים ש-$a\leq s$.

כאשר הקבוצה $S$ ברורה מההקשר, או במקרה שבו $S=A$, ניתן לקרוא למינימום ב-$S$ מינימום מבלי לציין באיזו קבוצה. הדבר נכון גם עבור מקסימום ב-$S$.

לא לכל קבוצה קיים בהכרח מינימום או מקסימום. מצד שני, לכל קבוצה יכול להיות לכל היותר מקסימום אחד ומינימום אחד.

כל מינימום של קבוצה הוא חסם מלרע שלה וכל מקסימום של קבוצה הוא חסם מלעיל שלה. מן הצד השני, חסם מלרע של קבוצה ששייך לאותה קבוצה הוא בהכרח מינימום בה וכן חסם מלעיל של קבוצה ששייך לאותה קבוצה הוא מקסימום בה.

איבר מינימלי ומקסימלי

ערך מורחב – איבר מינימלי ומקסימלי

בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $S\subseteq A$, מגדירים כי:

• איבר $s\in S$ ייקרא איבר מינימלי ב-$S$ (או איבר מזערי) אם ורק אם לכל $a\in S$ המקיים $a\leq s$, מתקיים בהכרח ש-$a=s$.
• איבר $s\in S$ ייקרא איבר מקסימלי ב-$S$ (או איבר מרבי) אם ורק אם לכל $a\in S$ המקיים $s\leq a$, מתקיים בהכרח ש-$a=s$.

כלומר, איבר מינימלי בקבוצה הוא איבר שאין איבר אחר באותה קבוצה שקטן ממנו ואיבר מקסימלי בקבוצה הוא איבר שאין איבר אחר באותה קבוצה שגדול ממנו.

כל מינימום בקבוצה הוא איבר מינימלי בה, אך ההפך אינו בהכרח נכון. באופן זהה, כל מקסימום בקבוצה הוא איבר מקסימלי בה וההפך אינו בהכרח נכון.

בעוד שבכל קבוצה יכולים להיות לכל היותר מקסימום אחד ומינימום אחד, ייתכנו בקבוצה כמה איברים מינימליים וכמה איברים מקסימליים.

אינפימום וסופרמום

ערך מורחב – אינפימום וסופרמום

בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $S\subseteq A$, מגדירים כי:

1. $s\in A$ ייקרא סופרמום של $S$ אם ורק אם הוא החסם העליון המינימלי של $S$. כלומר, אם $a\in A$ הוא חסם עליון של $S$, אז בהכרח $s\leq a$.
2. $s\in A$ ייקרא אינפימום של $S$ אם ורק אם הוא החסם התחתון המקסימלי של $S$. כלומר, אם $a\in A$ הוא חסם תחתון של $S$, אז בהכרח $s\leq a$.

עבור קבוצה סדורה כללית, קיומו של חסם עליון (או תחתון) לא גורר קיומו של סופרמום (או אינפימום). יחס סדר חלקי שבו לכל קבוצה חסומה מלעיל קיים חסם עליון נאמר שהוא מקיים את תכונת החסם העליון המינימלי ובמקורות מסוימים נקרא גם יחס סדר שלם.

תכונות

• לכל קבוצה סופית אשר סדורה ביחס סדר מלא, יש מינימום ומקסימום.
• לכל קבוצה מכוונת מעלה, אם יש לה איבר מקסימלי, אותו איבר הוא מקסימום. באופן זהה, לכל קבוצה מכוונת מטה, אם יש לה איבר מינימלי, אותו איבר הוא מינימום.
• אם בקבוצה קיימים גם מינימום וגם מקסימום ושניהם זהים, הקבוצה היא בהכרח יחידון המכיל את איבר זה בלבד.
• בהינתן קבוצה סדורה חלקית $(A,\leq )$ ותת-קבוצה $S\subseteq A$, $s\in S$ הוא מקסימום של $S$ לפי $\leq$ אם ורק אם הוא הוא המינימום של $S$ לפי הסדר ההפוך $\geq$

דוגמה

דיאגרמת הסה של הקבוצה ${\mathcal {B}}$

בהינתן הקבוצה $A=\left\{x,y,z\right\}$ מתבוננים בקבוצת החזקה שלה ${\mathcal {B}}:={\mathcal {P}}(A)$.

קבוצה זו היא קבוצה סדורה חלקית לפי יחס ההכלה $\subseteq$. בקבוצה זו, הקבוצה הריקה היא מינימום ו-$A$ (כאיבר ב-${\mathcal {B}}$) היא מקסימום.

דיאגרמת הסה של הקבוצה ${\mathcal {C}}$

כעת, מגדירים את הקבוצה ${\mathcal {C}}:={\mathcal {B}}\backslash \left\{\emptyset ,A\right\}$. כלומר ${\mathcal {C}}$ היא הקבוצה ${\mathcal {B}}$ ללא המינימום והמקסימום שלה. גם קבוצה זו היא סדורה לפי יחס ההכלה. בקבוצה ${\mathcal {C}}$ לא קיים מינימום ולא קיים מקסימום, זאת מכיוון שישנם שלושה איברים מינימליים שאינם בני השוואה זה לזה ושלושה איברים מקסימלים שאינם בני השוואה זה לזה.

בקטע הסגור $[a,b]=\{x\in \mathbb {R} \ |\ a\leq x\leq b\}$ קיימים מינימום ומקסימום. הנקודה a היא מינימום והנקודה b היא מקסימום. לעומת זאת, בקטע הפתוח $(a,b)=\{x\in \mathbb {R} \ |\ a<x<b\}$ לא קיימים מינימום ומקסימום, בפרט: לא הקיים האיבר הקטן ביותר כי לכל $y\in (a,b)$ (כלומר: $a<y<b$) האיבר $a<(a+y)/2<y<b$ קטן ממנו וגם שייך לקבוצה $(a,b)$. באותו אופן לא קיים האיבר הגדול ביותר בקטע הפתוח $(a,b)$.

שימושים

תורת הקבוצות

ערך מורחב – סדר טוב

אחד השימושים המרכזיים בתורת הקבוצות למינימום ומקסימום הוא בהגדרה של סדר טוב. קבוצה סדורה $(A,\leq )$ תקרא קבוצה מסודרת היטב אם ורק אם לכל תת-קבוצה שלה קיים מינימום. אחת הדוגמאות החשובות ביותר לקבוצה בעלת סדר טוב היא קבוצת המספרים הטבעיים $\mathbb {N}$.

לסדר טוב חשיבות רבה בתורת הקבוצות האקסיומטית. בעזרת סדר טוב אפשר להגדיר את המספרים הסודרים שהם אבני הבניין שבעזרתם מוגדר מונח העוצמה. העוצמה של קבוצה היא למעשה הגודל שלה, והיא מוגדרת להיות המספר הסודר המינימלי אשר קיימת פונקציה הפיכה ממנו לקבוצה.

משפט הסדר הטוב מוכיח כי כל קבוצה שהיא ניתנת לסידור ביחס סדר טוב. משפט זה מתבסס על אקסיומת הבחירה, והוא למעשה שקול לה בהינתן אקסיומות צרמלו-פרנקל.

אנליזה ואופטימיזציה

ערך מורחב – נקודת קיצון

בהינתן פונקציה $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$, כאשר $n\in \mathbb {N}$ הוא מספר טבעי, ו-$\mathbb {R}$ היא קבוצת המספרים הממשיים, אחת התכונות החשובות ביותר שלה היא ערכי הקיצון שהיא מקבלת.

נקודת מקסימום גלובלי היא נקודה $x\in \mathbb {R} ^{n}$ כך ש-$f(x)$ הוא מקסימום בתמונה של $f$. באופן דומה, נקודת מינימום גלובלי היא נקודה $x\in \mathbb {R} ^{n}$ כך ש-$f(x)$ היא מנימום בתמונה של $f$. באופן דומה נקודה $x\in \mathbb {R} ^{n}$ נקראת מקסימום (או מינימום) מקומי אם ורק אם הערך $f(x)$ שלה הוא מקסימלי (או מינימלי) בסביבה סופית שלה.

ישנם מספר משפטים באנליזה אשר נוגעים לקיומה של נקודת מינימום או מקסימום גלובלי. כך למשל, כל פונקציה מקבוצה קומפקטית לקבוצת הממשיים בהכרח מקבלת שם מקסימום, זאת מכיוון שהתמונה של קבוצה קומפקטית היא תמיד קומפקטית. בנוסף, משפט פרמה מוכיח כי הנגזרת בנקודת מקסימום (או מינימום) מקומי שלה היא בהכרח 0.

באופטימיזציה מתמטית, מציאת נקודות קיצון הוא נושא חשוב ומרכזי. לרוב, לערך המינימום או המקסימום הגלובלי יש חשיבות גדולה, אם בפונקציות מתחום הפיזיקה, הכלכלה ומדעי המחשב. אחד האלגוריתמים החשובים ביותר למציאת נקודות מינימום של פונקציה של פונקציה הוא האלגוריתם מורד הגרדיאנט (Gradient Descent). אלגוריתם זה נמצא בבסיסו של מנגנון האימון של רשתות נוירונים.

ראו גם

• איבר מינימלי ומקסימלי
• אינפימום וסופרמום
• נקודת קיצון