אבן נייר ומספריים (תורת המשחקים)

הדינמיקה של אבן נייר ומספריים (RPS) היא עקרון בסיסי בתורת המשחקים, המתאר שליטה מחזורית בין אסטרטגיות. כל אסטרטגיה מנצחת אחת ומפסידה לאחרת, מה שיוצר איזון שבו אין אסטרטגיה מיטבית אחת. מודל זה משמש להבנת תחרות, קיום משותף ויציבות אבולוציונית בכלכלה, בביולוגיה ובמדעי החברה.

המודל המתמטי בתורת המשחקים

במסגרת תורת המשחקים, משחק אבן נייר ומספריים מתואר כמשחק סכום אפס עם שלוש אסטרטגיות טהורות: אבן (R), נייר (P) ומספריים (S). מטריצת התשלומים היא:

${\begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&0\end{pmatrix}}$

כאשר השורות והעמודות מייצגות את האסטרטגיות R, P ו-S. השחקן מרוויח +1 עבור ניצחון, מפסיד -1 עבור הפסד, ומקבל 0 בתיקו.

אסטרטגיה יציבה אבולוציונית (ESS)

שיווי המשקל של אסטרטגיית נאש המעורבת במשחק אבן-נייר-מספריים הוא:

$x=y=z={\frac {1}{3}}$

מצב זה הוא נייטרלי יציב, כלומר, סטייה קטנה מהשוויון גורמת למחזוריות מתמשכת אך לא מחזירה את המערכת לשיווי המשקל.

יישומים בטבע

תופעת "אבן-נייר-מספריים" אצל לטאות צווארון צדפות

לטאות צווארון צדפות (באנגלית: Side-blotched lizards) הן דוגמה למערכת אבולוציונית שמקיימת דינמיקה הדומה למשחק “אבן-נייר-מספריים”. באוכלוסיות הלטאות הללו מתקיימות שלוש אסטרטגיות רבייה שונות, שכל אחת מהן מעניקה יתרון יחסי במצבים מסוימים. דינמיקה זו יוצרת איזון מחזורי באוכלוסייה.

המחשה גרפית

שלוש אסטרטגיות הרבייה

• צווארון כתום – לטאות בעלות צווארון כתום מאופיינות באגרסיביות גבוהה. הן שולטות בשטחים גדולים ויכולות להחזיק מספר רב של נקבות. עם זאת, הן פגיעות ללטאות בעלות צווארון צהוב, שנוקטות באסטרטגיית הסתננות.
• צווארון כחול – לטאות בעלות צווארון כחול מגוננות על שטחים קטנים יותר ומחזיקות מספר מצומצם של נקבות. הן מצליחות להתמודד עם לטאות צהובות בזכות ההגנה הצמודה שהן מספקות לנקבות שלהן. עם זאת, הן חלשות מול הלטאות הכתומות.
• צווארון צהוב – לטאות בעלות צווארון צהוב אינן שולטות בשטחים אלא נוקטות ב”אסטרטגיית מסתנן” (Sneaker strategy). הן מצליחות להזדווג עם נקבות בשטחים של הלטאות הכתומות, מבלי להיתפס. אסטרטגיה זו יעילה מול כתומים אך חלשה מול כחולים.

הקבלה למשחק "אבן נייר ומספריים"

• לטאות כתומות מנצחות לטאות כחולות בזכות הדומיננטיות שלהן והשליטה בשטחים גדולים.
• לטאות כחולות מנצחות לטאות צהובות בזכות ההגנה הצמודה שלהן על הנקבות.
• לטאות צהובות מנצחות לטאות כתומות בזכות יכולתן להסתנן לשטחי הכתומים ולהזדווג עם הנקבות שלהן.

מערכת זו שומרת על מגוון האסטרטגיות באוכלוסייה באמצעות שיווי משקל מחזורי. כאשר אסטרטגיה אחת הופכת לנפוצה מדי, האסטרטגיה המנצחת אותה זוכה ליתרון יחסי, וכך נשמר איזון בין שלוש האסטרטגיות לאורך דורות.

לקריאה נוספת

• מיינרד סמית', ג'. (1982). אבולוציה ותורת המשחקים.
• הופבאואר, ג', וזיגמונד, ק' (1998). משחקים אבולוציוניים ודינמיקת אוכלוסיות.

• Sinervo, B., & Lively, C. M. (1996). The rock-paper-scissors game and the evolution of alternative male strategies. Nature, 380(6571), 240-243.
• Zamudio, K. R., & Sinervo, B. (2000). Polygyny, mate-guarding, and posthumous fertilization as alternative male strategies. Proceedings of the National Academy of Sciences, 97(26), 14427-14432.