סכמה אפינית

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, סכמות אפיניות (באנגלית: Affine Scheme) הן אבני הבינין של סכמות - מושא המחקר המרכזי של הגאומטריה האלגברית המודרנית.

מבוא אינטואיטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת ההגדרות של יריעה אלגברית אפינית היא אוסף הפתרונות של מערכת משוואות פולנמיאלית מעל שדה מסוים. כשאנו חוקרים סכמות אפיניות אנחנו לא מתעניינים רק באוסף הפתרונות, אלה גם במערכת עצמה. בהתאם ניתן לחשוב על סכמה אפינית כעל מערכת משוואות פולנומיאלית כשהמקדמים של הפולינומים שלמים.^[1] בהינתן מערכת משוואות וחוג $A$ ניתן לחפס פתרונות של המערכת ב - $A$ . זאת אומרת, לחפס איברים ב - $A$ כך שאם נציב אותם במקום הנעלמים במערכת המשוואות אז כל המשוואות תיתקימנה. כשאנחנו חוקרים סכמות אין לנו עינין במערכת הספציפית, אלא רק בפתרונות שלה מעל חוגים שונים. לכן נומר ששתי מערכות משוואות שקולות אם אוספי הפתרונות שלהן בכל חוג זהים. בהתאם מדויק יותר להגדיר סכמה אפינית בתור מחלקת שקילות של מערכות משוואות.

בהינתן מערכת משוואות:

{\begin{cases}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\f_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\cdots \\f_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=0\\\end{cases}}

נתבונן במנה

\mathbb {Z} [x_{1},\dots x_{n}]/\langle f_{1},\dots f_{k}\rangle

של חוג הפולנומים עם מקדמים שלמים

\mathbb {Z} [x_{1},\dots x_{n}]

באידיאל

\langle f_{1},\dots f_{k}\rangle

הנוצר על ידי הפולנומים

f_{1},\dots f_{k}

אם שתי מערכות משוואות שקולות אז החוגי המנה המתאימים שווים לכן ניתן להגדיר סכמות כחוגים מהסוג $\mathbb {Z} [x_{1},\dots x_{n}]/\langle f_{1},\dots f_{k}\rangle$ . מיכיוון שאנו לא דורשים ש - $n$ ו - $k$ , כל חוג קמוטטיבי עם יחידה אפשר לרשום כך (עד כדי איזומורפיזם). מכאן שאפשר להגיר סכמה אפינית פשוט כחוג קמוטטיבי עם יחידה.

הגדרה זאת אינה שימושית בדרך כלל מיכיוון שהיא לא משקפת את המבנה הגאומטרי של סכמות אפיניות. גרוטנדיק הגדיר את מוסג הספקטרום של חוג, שמהווה אובייקט גאמוטרי שמגלם במובן מסוים את אוסף הפיתרונות של מערכת המשוואת שמתאימה לחוג מעל כל החוגים. בהתאם גרוטנדיק הגדיר את סכמה אפינית בתור ספקטרום של חוג קמוטטיבי עם יחידה.

עם זאת, כל המידע על הסכמה האפינית טמון בחוג הפונקציות הרגולריות עליה (החוג שהיא מהווה את הספקטרום שלו). במילים אחרות חוג זה מגדיר את הסכמה האפינית ביחידות. לכן ניתן להגדיר סכמה באופן שקול כחוג קמוטטיבי עם יחידה. מנקודת מבט של תורת הקטגוריות, קטגורית הסכמות האפינית שקולה לקטגוריה ההפוכה של קטגורית החוגים הקמוטטיביים עם יחידה.

סכמות אפיניות כהכללה של יריעות אלגבריות אפיניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מושג הסכמה האפינית פותח כגרסה כללית וגמישה יותר של מושג היריעה האלגברית אפינית. הצורך במושג הסכמה האפינית. עולה מכך, שאף על פי שמושג היריעה האלגברית האפינית. כללי למדי, יש למושג זה מספר מגבלות:

נדרש לקבוע את השדה $k$ , לכן לא ניתן לטפל בו זמנית ביריעות מעל שדות שונים. מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים כאשר רוצים לקשר בין פתרונות של מערכת משוואות מעל שדה סופי ובין הגאומטריה של היריעה המוגדרת על ידי מערכת זאת מעל $\mathbb {C}$ . כמו כן הגדלת השדה מאפשרת הוספה של מספרים טרנסצנדנטים מה שמאפשר יצירה של נקודות גנריות, זאת אומרת נקודות שימצאו בכל קבוצה פתוחה זריצקי המוגדרת מעל השדה המקורי.
יריעות לא מאפשרות טיפול בפתרונות של מערכות משוואות מעל חוגים שאינם שדות. גם מגבלה זאת מקשה על שימושים בתורת המספרים שאחת הבעיות המרכזיות בה היא ניתוח של משוואות דיופנטיות.
יריעות לא מאפשרות טיפול בשורשים מרובים. לדוגמה היריעה המוגדרת על ידי המשוואה $x^{2}=0$ זהה ליריעה המוגדרת על ידי המשוואה $x=0$ . אולם כאשר מנתחים שורשים של פולינום נהוג לקחת בחשבון את ריבוי השורשים ולכן להתייחס לקבוצת השורשים של $x^{2}$ באופן שונה מאשר לקבוצת השורשים של $x$ . התייחסות לריבוי השורשים משפרת את הניסוח והשימושיות של מספר משפטים. למשל את המשפט היסודי של האלגברה.

כדי להתמודד עם מגבלות אלה פיתח גרותנדיק את מושג הסכמה האפינית. כדי להבין את סכמות אפיניות, כמו יריעות אפיניות מוגדרות על ידי חוג הפונקציות עליהם, אלא שבמקרה של סכמה מסירם את רוב ההגבלות מחוג זה. ראשית לא דורשים שהוא יהיה נוצר סופית מעל שדה, זה מאפשר להתמודד עם מגבלות 1,2 למעלה. שנית מאפשרים לו להכיל נילפוטנטים, זה מאפשר להתמודד עם מגבלה 3. הסרת מגבלת הנילפוטנטים גורמת לכך שהחוג כבר לא חוג פונקציות. לכן כאשר מגדירים סכמה כללית לא מגדירים אותה בתור מרחב טופולוגי עם אלומת פונקציות אלה בתור מרחב טופולוגי עם אלומה של אלגבראות אבסטרקטיות. מבנה כזה נקרא מרחב מחויג.

לויתור על הנוצרות סופית של חוג הפונקצוית הרגולריות ישנן השלכות. כאשר מתאימים לאלגברה יריעה אפינית, משתמשים בספקטרום המקסימלי שלה, זאת אומרת אוסף האידיאלים המקסימליים שלה, בעוד שכשמתאימים לחוג סכמה אפינית, משתמשים בספקטרום הראשוני שלו, זאת אומרת אוסף האידיאלים הראשוניים שלו. הצורך להשתמש בספקטרום ראשוני נובע מכך שבהינתן העתקה בין חוגים כלליים (לאו דווקא נוצרים סופית מעל שדה) אין זה נכון שתמונה הפוכה של אידיאל מקסימלי היא אידיאל מקסימלי, אבל נכון שתמונה הפוכה של אידיאל ראשוני היא אידיאל ראשוני.

הגדרה פורמלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכמה אפינית היא מרחב טופולוגי מחויג מקומית שאיזומורפי לספקטרום של חוג קומוטטיבי עם יחידה $R$ , כלומר: $X=\operatorname {Spec} (R)$ המצויד בטופולוגיית זריצקי כאשר אלומת המבנה שלו מוגדרת על בסיס לטופולוגיה של קבוצות פתוחות ראשיות

D(f)=\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} (R)\mid {\mathfrak {p}}\not \ni f\right\}

לכל

f\in R

באופן הבא

{\mathcal {O}}_{X}\left(D(f)\right)=R_{f}

כאשר $R_{f}=S^{-1}R$ הוא הלוקליזציה של $R$ במערכת הכפלית $S=\{1,f,f^{2},f^{3},...\}$ . בפרט, ${\mathcal {O}}_{X}(X)=R$ . הנבט של כל אלומה כזאת ${\mathcal {O}}_{X,x}$ בכל $x\in X$ היא חוג מקומי שבו אידיאל מקסימלי יחיד ${\mathfrak {m}}_{x}$ שהוא, באופן אינטואיטיבי, אוסף איברי החוג שמתאפסים בנקודה x. למנה $k_{x}={\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ קוראים "שדה השארית ב-x".

סכמה אפינית היא מקרה פרטי של סכמה. כל סכמה היא "הדבקה" של סכמות אפיניות פתוחות, ואפשר לומר שמקומית כל סכמה היא סכמה אפינית, כלומר לכל נקודה קיימת סביבה פתוחה שלה שהיא סכמה אפינית. סכמות הן אובייקט המחקר העיקרי בגאומטריה אלגברית, לצד יריעות אלגבריות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

Hartshorne, Robin (1997) [1977], Algebraic Geometry, Springer-Verlag, pp. 69–108, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
ורשבסקי, יעקב (2016), עומר שכטר (ed.), "מושגי יסוד בגיאומטריה אלגברית 1" (PDF), האוניברסיטה העברית
Vakil, Ravi (2017), Foundations of Algebraic Geometry, ISBN 978-0821810293