משוואה פונקציונלית

במתמטיקה, משוואה פונקציונלית היא משוואה שהנעלם שלה הוא פונקציה (בדרך כלל פונקציה ממשית). למשוואות המאפשרות הצבה של שני פרמטרים או יותר, כמו משוואת קושי $f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$, יש בדרך כלל פתרונות רציפים מעטים.

פונקציית זטא של רימן מקיימת את המשוואה הפונקציונלית $f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$, שיש לה חשיבות מהותית בהבנת הפונקציה (כאן גמא מייצג את פונקציית גמא, שבעצמה מקיימת כל אחת מן המשוואות $f(x)={f(x+1) \over x}\,\!$, $f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$ ו-$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,$).

• דוגמאות נוספות

פונקציית הסינוס מקיימת את המשוואה $f(x+y)=f(x)f(\pi /2-y)+f(y)f(\pi /2-x)\,\!$.

פונקציית הקוסינוס מקיימת את המשוואה $g(x+y)=g(x)g(y)-g(\pi /2-y)g(\pi /2-x)\,\!$

את המשוואה $f(xy)=f(x)f(y)\,\!$ מקיימת כל פונקציה מהצורה f(x)=x^a.

את המשוואה $f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ מקיימת כל פונקציה מהצורה f(x)=a^x.

המשוואה $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ נקראת כלל המקבילית.

פתרון משוואה פונקציונלית

יש שלל טכניקות לפתרון משוואה פונקציונלית (או מערכת משוואות פונקציונלית), אבל אין בתחום הזה תאוריה שלמה. אפשר להציב ערכים שונים לפונקציה ולהפוך אותה למערכת משוואות בעלי נעלם יחיד שהוא הפונקציה. דוגמה לכך היא פתרון המשוואה:

$f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\,$

על ידי הצבה של ערכים שונים ל-$y$ ביחס ל-$x$, כגון $x=y$ ו- $x=-y$, אפשר לגלות כי הפתרון היחיד של הפונקציה הוא $f(x)=0$.

קישורים חיצוניים

• משוואה פונקציונלית, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואות פונקציונליות, דף שער בספרייה הלאומית