על מנת למצוא נגזרת של פונקציה
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
, יש להגדיר נקודה
(
x
,
f
(
x
)
)
{\displaystyle (x,f(x))}
ונקודה
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
{\displaystyle (x_{1},f(x_{1}))}
מימין לה כאשר ההפרש שואף לאפס ולחשב את הגבול :
f
′
(
x
)
=
lim
x
1
→
x
f
(
x
)
−
f
(
x
1
)
x
−
x
1
{\displaystyle f'(x)=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}}}
.
לחישוב הנגזרת:
(
x
n
)
′
{\displaystyle (x^{n})'}
, נשתמש בנוסחה:
a
n
−
b
n
=
(
a
−
b
)
∑
k
=
1
n
a
n
−
k
b
k
−
1
{\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum _{k=1}^{n}a^{n-k}b^{k-1}}
.
נכתוב:
lim
x
1
→
x
x
n
−
x
1
n
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
(
x
−
x
1
)
∑
k
=
1
n
x
n
−
k
x
1
k
−
1
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
∑
k
=
1
n
x
n
−
k
x
1
k
−
1
=
∑
k
=
1
n
x
n
−
k
+
k
−
1
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to x}{\frac {x^{n}-x_{1}^{n}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {(x-x_{1})\sum _{k=1}^{n}x^{n-k}x_{1}^{k-1}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}\sum _{k=1}^{n}x^{n-k}x_{1}^{k-1}=\sum _{k=1}^{n}x^{n-k+k-1}=nx^{n-1}}
.
(הביטוי
∑
k
=
1
n
x
n
−
k
+
k
−
1
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}x^{n-k+k-1}}
כולל בתוכו n איברים.)
מסקנה:
(
x
n
)
′
=
n
x
n
−
1
{\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}}
.
lim
x
1
→
x
1
x
−
1
x
1
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
x
1
−
x
x
⋅
x
1
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
x
1
−
x
x
⋅
x
1
(
x
−
x
1
)
=
lim
x
1
→
x
−
1
x
⋅
x
1
=
−
1
x
2
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to x}{\frac {{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x_{1}}}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {\frac {x_{1}-x}{x\cdot x_{1}}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {x_{1}-x}{x\cdot x_{1}(x-x_{1})}}=\lim _{x_{1}\to x}-{\frac {1}{x\cdot x_{1}}}=-{\frac {1}{x^{2}}}}
.
מסקנה:
(
1
x
)
′
=
−
1
x
2
{\displaystyle \left({\frac {1}{x}}\right)'=-{\frac {1}{x^{2}}}}
lim
x
1
→
x
x
−
x
1
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
(
x
−
x
1
)
(
x
+
x
1
)
(
x
−
x
1
)
(
x
+
x
1
)
=
lim
x
1
→
x
x
−
x
1
(
x
−
x
1
)
(
x
+
x
1
)
=
lim
x
1
→
x
1
x
+
x
1
=
1
2
x
{\displaystyle \lim _{x_{1}\to x}{\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {x}}_{1}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {({\sqrt {x}}-{\sqrt {x}}_{1})({\sqrt {x}}+{\sqrt {x}}_{1})}{(x-x_{1})({\sqrt {x}}+{\sqrt {x}}_{1})}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {x-x_{1}}{(x-x_{1})({\sqrt {x}}+{\sqrt {x}}_{1})}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {1}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {x}}_{1}}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
(על פי הנוסחה:
(
a
−
b
)
(
a
+
b
)
=
a
2
−
b
2
{\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}}
).
מסקנה:
(
x
)
′
=
1
2
x
{\displaystyle ({\sqrt {x}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}
.
(הערה: ניתן להגיע לנגזרות של שורש ורציונלית גם באמצעות פולינום במעריך שלילי או שבר).
הנגזרת של מספר קבוע היא אפס.
הוכחה:
(
a
)
′
=
lim
x
1
→
x
a
−
a
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
0
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
0
=
0
{\displaystyle (a)'=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {a-a}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {0}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}0=0}
הנגזרת של פונקציה המוכפלת במספר קבוע שווה למספר הקבוע כפול הנגזרת של הפונקציה.
הוכחה:
(
a
f
(
x
)
)
′
=
lim
x
1
→
x
a
f
(
x
)
−
a
f
(
x
1
)
x
−
x
1
=
a
lim
x
1
→
x
f
(
x
)
−
f
(
x
1
)
x
−
x
1
=
a
f
′
(
x
)
{\displaystyle (af(x))'=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {af(x)-af(x_{1})}{x-x_{1}}}=a\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}}=af'(x)}
הנגזרת של פונקציה מורכבת שווה לנגזרת של הפונקציה החיצונית (כאשר הפונקציה הפנימית משמשת משתנה) כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.
הוכחה:
(
f
(
g
(
x
)
)
)
′
=
lim
x
1
→
x
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
x
1
)
)
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
(
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
x
1
)
)
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
⋅
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
x
−
x
1
)
=
lim
x
1
→
x
f
(
g
(
x
)
)
−
f
(
g
(
x
1
)
)
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
lim
x
1
→
x
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
x
−
x
1
=
f
′
(
g
(
x
)
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(g(x)))'=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{1}))}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}\left({\frac {f(g(x))-f(g(x_{1}))}{g(x)-g(x_{1})}}\cdot {\frac {g(x)-g(x_{1})}{x-x_{1}}}\right)=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(g(x))-f(g(x_{1}))}{g(x)-g(x_{1})}}\lim _{x_{1}\to x}{\frac {g(x)-g(x_{1})}{x-x_{1}}}=f'(g(x))g'(x)}
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
′
=
lim
x
1
→
x
f
(
x
)
±
g
(
x
)
−
(
f
(
x
1
)
±
g
(
x
1
)
)
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
f
(
x
)
−
f
(
x
1
)
±
(
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
)
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
f
(
x
)
−
f
(
x
1
)
x
−
x
1
±
lim
x
1
→
x
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
x
−
x
1
=
f
′
(
x
)
±
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\pm g(x))'=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(x)\pm g(x)-(f(x_{1})\pm g(x_{1}))}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{1})\pm (g(x)-g(x_{1}))}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}}\pm \lim _{x_{1}\to x}{\frac {g(x)-g(x_{1})}{x-x_{1}}}=f'(x)\pm g'(x)}
מסקנה:
(
f
(
x
)
±
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
±
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)}
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
lim
x
1
→
x
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
1
)
g
(
x
1
)
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
1
)
g
(
x
)
+
f
(
x
1
)
g
(
x
)
−
f
(
x
1
)
g
(
x
1
)
x
−
x
1
=
{\displaystyle f(x)g(x))'=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(x)g(x)-f(x_{1})g(x_{1})}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {f(x)g(x)-f(x_{1})g(x)+f(x_{1})g(x)-f(x_{1})g(x_{1})}{x-x_{1}}}=}
=
lim
x
1
→
x
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
f
(
x
1
)
)
+
f
(
x
1
)
(
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
)
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
g
(
x
)
f
(
x
)
−
f
(
x
1
)
x
−
x
1
+
lim
x
1
→
x
f
(
x
1
)
g
(
x
)
−
g
(
x
1
)
x
−
x
1
=
g
(
x
)
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle =\lim _{x_{1}\to x}{\frac {g(x)(f(x)-f(x_{1}))+f(x_{1})(g(x)-g(x_{1}))}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}g(x){\frac {f(x)-f(x_{1})}{x-x_{1}}}+\lim _{x_{1}\to x}f(x_{1}){\frac {g(x)-g(x_{1})}{x-x_{1}}}=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)}
מסקנה:
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
g
(
x
)
f
′
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle (f(x)g(x))'=g(x)f'(x)+f(x)g'(x)}
הנגזרת של פונקציית מנה היא נגזרת של פונקציה המוכפלת בפונקציה רציונלית מורכבת.
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
(
f
(
x
)
1
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
1
g
(
x
)
+
f
(
x
)
(
1
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
(
−
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
)
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'=\left(f(x){\frac {1}{g(x)}}\right)'=f'(x){\frac {1}{g(x)}}+f(x)\left({\frac {1}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)}{g(x)}}+f(x)\left(-{\frac {g'(x)}{(g(x))^{2}}}\right)={\frac {f'(x)g(x)}{(g(x))^{2}}}-{\frac {f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}}
מסקנה:
(
f
(
x
)
g
(
x
)
)
′
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
g
′
(
x
)
(
g
(
x
)
)
2
{\displaystyle \left({\frac {f(x)}{g(x)}}\right)'={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^{2}}}}
נראה כי לכל פונקציה מעריכית מתקיים:
f
(
x
)
=
a
x
⇒
f
′
(
x
)
=
a
x
⋅
f
′
(
0
)
{\displaystyle f(x)=a^{x}\Rightarrow f'(x)=a^{x}\cdot f'(0)}
הוכחה:
(
a
x
)
′
=
lim
x
1
→
x
a
x
−
a
x
1
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
a
x
1
(
a
x
−
x
1
−
1
)
x
−
x
1
=
a
x
lim
h
→
0
a
h
−
1
h
{\displaystyle (a^{x})'=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {a^{x}-a^{x_{1}}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {a^{x_{1}}(a^{x-x_{1}}-1)}{x-x_{1}}}=a^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}}
(
h
=
x
−
x
1
)
{\displaystyle (h=x-x_{1})}
נגזור בנקודה x=0:
f
′
(
0
)
=
lim
h
→
0
a
0
−
a
h
−
h
=
lim
h
→
0
a
h
−
1
h
{\displaystyle f'(0)=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{0}-a^{h}}{-h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}}
ונקבל:
f
(
x
)
=
a
x
⇒
f
′
(
x
)
=
a
x
⋅
f
′
(
0
)
{\displaystyle f(x)=a^{x}\Rightarrow f'(x)=a^{x}\cdot f'(0)}
כלומר נגזרת של פונקציה מעריכית שווה לפונקציה עצמה עד כדי מכפלה בקבוע
נשתמש בכך שהפונקציות המעריכיות בעלות בסיס חיובי קעורות כלפי מעלה.
הוכחה:
f
″
(
x
)
=
k
2
a
x
{\displaystyle f''(x)=k^{2}a^{x}}
(k הוא הקבוע).
מכיוון שכל מספר שהוא ריבוע של מספר ממשי הוא חיובי וכל חזקה של מספר חיובי היא חיובית, הנגזרת השנייה חיובית והפונקציה קעורה כלפי מעלה.
כלומר כל המשיקים נמצאים מתחת לגרף הפונקציה.
ניקח מספר c שהפונקציה המעריכית שהוא בסיסה שווה לעצמה ונראה שהוא שווה לe.
נשתמש בעובדה שכל פונקציה מעריכית עוברת בנקודה (0,1) ובמקרה של הפונקציה שבחרנו, שיפוע המשיק בנקודה יהיה 1 והמספר החופשי שלו יהיה 1 וכל ערך בו קטן מערכי הפונקציה.
c
x
>
x
+
1
⇒
c
1
n
>
1
+
1
n
⇒
c
>
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle c^{x}>x+1\Rightarrow c^{\frac {1}{n}}>1+{\frac {1}{n}}\Rightarrow c>\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
וכן:
c
−
1
n
+
1
>
1
−
1
n
+
1
=
n
n
+
1
⇒
1
c
1
n
+
1
>
n
n
+
1
⇒
c
1
n
+
1
<
n
+
1
n
=
1
+
1
n
⇒
c
<
(
1
+
1
n
)
n
+
1
{\displaystyle c^{-{\frac {1}{n+1}}}>1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}\Rightarrow {\frac {1}{c^{\frac {1}{n+1}}}}>{\frac {n}{n+1}}\Rightarrow c^{\frac {1}{n+1}}<{\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}\Rightarrow c<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}
משני אי השוויונים נקבל:
(
1
+
1
n
)
n
<
c
<
(
1
+
1
n
)
n
+
1
⇒
1
<
c
(
1
+
1
n
)
n
<
1
+
1
n
⇒
1
<
lim
n
→
∞
c
(
1
+
1
n
)
n
<
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
=
1
⇒
c
e
=
1
⇒
c
=
e
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<c<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\Rightarrow 1<{\frac {c}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}<1+{\frac {1}{n}}\Rightarrow 1<\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}}<\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)=1\Rightarrow {\frac {c}{e}}=1\Rightarrow c=e}
(על פי חוקי הגבולות)
כלומר פונקציה שנגזרתה שווה לעצמה היא
e
x
{\displaystyle e^{x}}
ולכן
(
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle (e^{x})'=e^{x}}
(
a
x
)
′
=
(
e
ln
a
⋅
x
)
′
=
ln
a
⋅
e
ln
a
⋅
x
=
ln
a
⋅
a
x
{\displaystyle (a^{x})'=(e^{\ln a\cdot x})'=\ln a\cdot e^{\ln a\cdot x}=\ln a\cdot a^{x}}
כלומר:
(
a
x
)
′
=
ln
a
⋅
a
x
{\displaystyle (a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}}
נשתמש בחוק:
ln
(
e
x
)
=
x
{\displaystyle \ln(e^{x})=x}
נגזור את שני האגפים ונקבל:
ln
′
(
e
x
)
⋅
e
x
=
1
⇒
ln
′
(
e
x
)
=
1
e
x
{\displaystyle \ln '(e^{x})\cdot e^{x}=1\Rightarrow \ln '(e^{x})={\frac {1}{e^{x}}}}
נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית:
f
(
e
x
)
=
1
e
x
{\displaystyle f(e^{x})={\frac {1}{e^{x}}}}
שפיתרונה הוא:
f
(
x
)
=
1
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
.
כלומר:
(
ln
x
)
′
=
1
x
{\displaystyle (\ln x)'={\frac {1}{x}}}
על אותו עיקרון, נקבל:
log
a
(
a
x
)
=
x
⇒
log
a
′
(
a
x
)
=
1
ln
a
⋅
a
x
⇒
(
log
a
x
)
′
=
1
ln
a
⋅
x
{\displaystyle \log _{a}(a^{x})=x\Rightarrow \log _{a}'(a^{x})={\frac {1}{\ln a\cdot a^{x}}}\Rightarrow (\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln a\cdot x}}}
למציאת הגבול
lim
x
→
0
sin
x
x
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}}
נחשב את הגבול
lim
x
→
0
sin
x
x
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin {x}}{x}}}
.
נתבונן בצורה משמאל. הרדיוס של המעגל הוא 1 והזווית המרכזית היא x (רדיאנים ).
ניתן לראות כי
b
c
<
b
e
⌢
<
d
e
{\displaystyle bc<{\stackrel {\frown }{be}}<de}
.[1]
נביע את
b
c
,
b
e
⌢
,
d
e
{\displaystyle bc,{\stackrel {\frown }{be}},de}
בעזרת זווית x.
b
c
1
=
sin
x
⇒
b
c
=
sin
x
{\displaystyle {\frac {bc}{1}}=\sin {x}\Rightarrow bc=\sin x}
b
e
⌢
=
x
{\displaystyle {\stackrel {\frown }{be}}=x}
(קשת המתאימה לזווית רדיאנית)
d
e
1
=
tan
x
⇒
d
e
=
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle {\frac {de}{1}}=\tan x\Rightarrow de=\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
נקבל את אי-השוויון:
sin
x
<
x
<
sin
x
cos
x
{\displaystyle \sin x<x<{\frac {\sin x}{\cos x}}}
נחלק בסינוס x:
1
<
x
sin
x
<
1
cos
x
⇒
1
>
sin
x
x
>
cos
x
{\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}\Rightarrow 1>{\frac {\sin x}{x}}>\cos x}
ולכן גם הגבול:
lim
x
→
0
1
>
lim
x
→
0
sin
x
x
>
lim
x
→
0
cos
x
{\displaystyle \lim _{x\to 0}1>\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}>\lim _{x\to 0}\cos x}
כאשר x שואף ל0 קוסינוס שואף ל1 ולכן:
1
>
lim
x
→
0
sin
x
x
>
1
{\displaystyle 1>\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}>1}
כלומר:
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
נשתמש בנוסחה
sin
a
−
sin
b
=
2
sin
a
−
b
2
cos
a
+
b
2
{\displaystyle \sin a-\sin b=2\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {a+b}{2}}}
, ונכתוב:
(
sin
x
)
′
=
lim
x
1
→
x
sin
x
−
sin
x
1
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
2
sin
x
−
x
1
2
cos
x
+
x
1
2
x
−
x
1
=
lim
x
1
→
x
sin
x
−
x
1
2
x
−
x
1
2
lim
x
1
→
x
cos
x
+
x
1
2
=
1
⋅
cos
x
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {\sin x-\sin {x_{1}}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {2\sin {\frac {x-x_{1}}{2}}\cos {\frac {x+x_{1}}{2}}}{x-x_{1}}}=\lim _{x_{1}\to x}{\frac {\sin {\frac {x-x_{1}}{2}}}{\frac {x-x_{1}}{2}}}\lim _{x_{1}\to x}\cos {\frac {x+x_{1}}{2}}=1\cdot \cos x=\cos x}
(כאשר
x
1
→
x
{\displaystyle x_{1}\to x}
, מתקיים
(
x
−
x
1
)
→
0
{\displaystyle (x-x_{1})\to 0}
.)
מסקנה:
(
sin
x
)
′
=
cos
x
{\displaystyle (\sin x)'=\cos x}
נגזרת של קוסינוס היא נגזרת של סינוס מורכבת (על פי הזהות:
cos
x
=
sin
(
π
2
−
x
)
{\displaystyle \cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
.)
נכתוב:
(
cos
x
)
′
=
(
sin
(
π
2
−
x
)
)
′
=
−
1
⋅
cos
(
π
2
−
x
)
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=\left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\right)'=-1\cdot \cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sin x}
מסקנה:
(
cos
x
)
′
=
−
sin
x
{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x}
נשתמש בזהות:
tan
x
=
sin
x
cos
x
{\displaystyle \tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}}
.
נכתוב:
(
tan
x
)
′
=
(
sin
x
cos
x
)
′
=
(
sin
x
)
′
cos
x
−
sin
x
(
cos
x
)
′
cos
2
x
=
cos
2
x
+
sin
2
x
cos
2
x
=
1
cos
2
x
{\displaystyle (\tan x)'=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'={\frac {(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
(על פי הזהות:
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
.)
מסקנה:
(
tan
x
)
′
=
1
cos
2
x
{\displaystyle (\tan x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}}
הפונקציות הטריגונומטריות סקאנס, קוסקאנס וקוטנגנס [ עריכת קוד מקור | עריכה ]
נשתמש בנגזרת של פונקציה רציונלית מורכבת ונכתוב:
(
sec
x
)
′
=
(
1
cos
x
)
′
=
−
−
sin
x
cos
2
x
=
sin
x
cos
2
x
=
tan
x
cos
x
=
tan
x
⋅
sec
x
{\displaystyle (\sec x)'=\left({\frac {1}{\cos x}}\right)'=-{\frac {-\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\tan x}{\cos x}}=\tan x\cdot \sec x}
נפתור בדרך דומה:
(
csc
x
)
′
=
(
1
sin
x
)
′
=
−
cos
x
sin
2
x
=
−
cot
x
sin
x
=
−
cot
x
⋅
csc
x
{\displaystyle (\csc x)'=\left({\frac {1}{\sin x}}\right)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {\cot x}{\sin x}}=-\cot x\cdot \csc x}
נשתמש בזהות:
cot
x
=
cos
x
sin
x
{\displaystyle \cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}}
.
נכתוב:
(
cot
x
)
′
=
(
cos
x
sin
x
)
′
=
(
cos
x
)
′
sin
x
−
cos
x
(
sin
x
)
′
sin
2
x
=
−
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
sin
2
x
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle (\cot x)'=\left({\frac {\cos x}{\sin x}}\right)'={\frac {(\cos x)'\sin x-\cos x(\sin x)'}{\sin ^{2}x}}={\frac {-(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)}{\sin ^{2}x}}=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
(על פי הזהות:
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1}
.)
מסקנה:
(
cot
x
)
′
=
−
1
sin
2
x
{\displaystyle (\cot x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}}
פונקציות טריגונומטריות הופכיות (בסיסיות) [ עריכת קוד מקור | עריכה ]
ניעזר בקשר:
arcsin
(
sin
x
)
=
x
{\displaystyle \arcsin(\sin x)=x}
נגזור את שני הצדדים (צד שמאל על פי פונקציה מורכבת):
(
arcsin
(
sin
x
)
)
′
=
arcsin
′
(
sin
x
)
⋅
cos
x
{\displaystyle (\arcsin(\sin x))'=\arcsin '(\sin x)\cdot \cos x}
x
′
=
1
{\displaystyle x'=1}
ונקבל:
arcsin
′
(
sin
x
)
=
1
cos
x
{\displaystyle \arcsin '(\sin x)={\frac {1}{\cos x}}}
נקבל את המשוואה הדיפרנציאלית :
f
(
sin
x
)
=
1
cos
x
{\displaystyle f(\sin x)={\frac {1}{\cos x}}}
שפתרונה הוא:
f
(
x
)
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
(על פי הזהות:
cos
2
x
=
1
−
sin
2
x
{\displaystyle \cos ^{2}x=1-\sin ^{2}x}
)
ולכן:
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
נפתור בדרך דומה:
arccos
(
cos
x
)
=
x
⇒
arccos
′
(
cos
x
)
=
−
1
sin
x
⇒
(
arccos
x
)
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle \arccos(\cos x)=x\Rightarrow \arccos '(\cos x)=-{\frac {1}{\sin x}}\Rightarrow (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
arctan
(
tan
x
)
=
x
⇒
arctan
′
(
tan
x
)
=
cos
2
x
{\displaystyle \arctan(\tan x)=x\Rightarrow \arctan '(\tan x)=\cos ^{2}x}
כלומר המשוואה היא:
f
(
sin
x
cos
x
)
=
cos
2
x
⇒
f
(
x
)
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle f\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)=\cos ^{2}x\Rightarrow f(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
(
1
1
+
sin
2
x
cos
2
x
=
cos
2
x
cos
2
x
+
sin
2
x
=
cos
2
x
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{1+{\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}}}={\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}=\cos ^{2}x\right)}
ולכן:
(
arctan
x
)
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
פונקציות טריגונומטריות הופכיות (סקאנס, קוסקנאס וקוטנגנס) [ עריכת קוד מקור | עריכה ]
arcsec
(
sec
x
)
=
x
⇒
arcsec
′
(
sec
x
)
=
1
tan
x
⋅
sec
x
⇒
(
arcsec
x
)
′
=
1
x
2
1
−
1
x
2
=
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(\sec x)=x\Rightarrow \operatorname {arcsec} '(\sec x)={\frac {1}{\tan x\cdot \sec x}}\Rightarrow (\operatorname {arcsec} x)'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
arccsc
(
csc
x
)
=
x
⇒
arccsc
′
(
csc
x
)
=
−
1
cot
x
⋅
csc
⇒
−
1
x
x
2
−
1
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(\csc x)=x\Rightarrow \operatorname {arccsc} '(\csc x)=-{\frac {1}{\cot x\cdot \csc }}\Rightarrow -{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
arccot
(
cot
x
)
=
x
⇒
arccot
′
(
cot
x
)
=
−
sin
2
x
⇒
(
arccot
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle \operatorname {arccot}(\cot x)=x\Rightarrow \operatorname {arccot} '(\cot x)=-\sin ^{2}x\Rightarrow (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
^ אם נעביר משיק לקשת be בנקודה b ונקרא f לנקודה שבה הוא פוגש את de, נקבל:
b
f
<
d
f
{\displaystyle bf<df}
(המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה והיתר גדול מכל אחד מהניצבים) ולכן:
b
f
+
f
e
<
d
e
{\displaystyle bf+fe<de}
. ניתן לראות בקלות כי:
b
e
⌢
<
b
f
+
f
e
<
d
e
{\displaystyle {\stackrel {\frown }{be}}<bf+fe<de}
.
קטגוריה:חשבון אינפיניטסימלי