תת-מרחב שמור

באלגברה ליניארית, תת-מרחב שמור (או תת-מרחב אינוַריאנטי) של העתקה ליניארית $T$, הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה $T$ שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו.

אם $W$ תת-מרחב שמור של $T$ אז ניתן לצמצם את $T$ לתת-המרחב $W$ ולקבל: ${T|}_{W}\colon W\to W$

הגדרה

יהי $W$ תת-מרחב ב-$V$ ותהי :$T:V\to V$ העתקה ליניארית. נאמר ש $W$ תת-מרחב שמור $T$ של $V$ אם $\ T(W)\subseteq W$.

תהי $A$ מטריצה ריבועית מסדר $n$ מעל שדה $\ \mathbb {F}$. נאמר ש־$W$ הוא תת-מרחב שמור $A$ של $\ \mathbb {F} ^{n}$ אם לכל $\ w\in W$ מתקיים $Aw\in W$.

דוגמה פשוטה

נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא:

$T(x,y,z)=(x+2y+z,3x+4y-z,5z)$

אזי תת-המרחב $W:=\operatorname {span} \{(1,0,0),(0,1,0)\}$ הוא תת-מרחב שמור $T$, וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של $T$ עליו באופן הבא: ${T|}_{W}(x,y)=(x+2y,3x+4y)$.

דוגמאות נוספות

יהי $V$ מרחב וקטורי ו־$T:V\to V$ העתקה ליניארית, אזי:

1. $V$ עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי $T$.
2. אם $\lambda$ ערך עצמי של $T$, אזי המרחב העצמי של $\lambda$ הוא שמור $T$.
3. $\mathrm {Im} T$ וגם $\mathrm {Ker} T$ תתי-מרחב שמורי $T$.

תכונות

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)

יהי $V$ מרחב וקטורי בעל ממד סופי, $T:V\to V$ העתקה ליניארית ויהי $p$ הפולינום המינימלי של $T$, נוכל להציג את $p$ כמכפלה של גורמים אי פריקים $\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{r_{i}}$.

אזי $V=Ker~{p_{1}}^{r_{1}}\oplus \cdots \oplus Ker~{p_{n}}^{r_{n}}$ פירוק ישר של $V$ לתתי-מרחב שמורי $T$.

בנוסף אם $T$ לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של $T$.

פעולות על המרחב

יהי $U,W$ תתי-מרחב שמורים $T$ של $V$, אזי:

• $U\cap W$ תת-מרחב שמור $T$.
• $U\oplus W$ תת-מרחב שמור $T$.
• אם $W$ מרחב עצמי של $T$, אזי כל תת-מרחב של $W$, הוא תת-מרחב שמור $T$.

תת-מרחב ציקלי

יהי $v\in V$ וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו־$T:V\to V$ העתקה ליניארית. אזי קיים $k$ מקסימלי, כך ש $B=\{v,Tv,T^{2}v,...,T^{k-1}v\}$ קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב $W$ אשר $B$ הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של $V$ ביחס ל-$T$ ול-$v$, והוא תת-מרחב שמור ה־$T$ הקטן ביותר המכיל את $v$.

הטלות

ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי $V$ מרחב וקטורי בעל ממד $n$ המחולק לסכום ישר של $k\leq n$ תתי-מרחב, לכל תת-מרחב $W_{i}$ נצמיד הטלה $E_{i}$, אזי $W_{i}$ הם שמורי $T$ אם ורק אם $TE_{i}=E_{i}T$ לכל $i$.