תגובה אינסופית להלם

תגובה אינסופית להלם (באנגלית: Infinite impulse response; בראשי תיבות: IIR) היא תכונה של מערכות ליניאריות בלתי תלויה בזמן מסוימות, אשר נבדלות בכך שיש להן תגובה להלם $h(t)$ שאינו מתאפס מעבר לנקודה מסוימת, אלא ממשיך ללא הגבלת זמן. זאת בניגוד למערכת תגובה סופית להלם (FIR) שבה התגובה להלם מתאפסת בזמן $t>T$ עבור $T$ סופי, ובכך בעל משך סופי. דוגמאות נפוצות למערכות ליניאריות בלתי תלויות בזמן הן רוב המסננים האלקטרוניים והדיגיטליים. מערכות עם תכונה זה ידועות כמערכות IIR או מסנני IIR.

בפועל, התגובה להלם, אפילו של מערכות IIR, בדרך כלל מתקרבת לאפס וניתן להזניח אותה מעבר לנקודה מסוימת. עם זאת, המערכות הפיזיקליות המביאות לתגובות IIR או FIR אינן דומות, ובכך טמונה חשיבות ההבחנה. לדוגמה, מסננים אלקטרוניים אנלוגיים המורכבים מנגדים, קבלים או משרנים (ואולי מגברים ליניאריים) הם בדרך כלל מסנני IIR. מצד שני, מסנני זמן בדיד (בדרך כלל מסננים דיגיטליים) המבוססים על קו השהייה מופעל ללא משוב הם בהכרח מסנני FIR. לקבלים (או למשרנים) בפילטר האנלוגי יש "זיכרון" ומצבם הפנימי אף פעם לא נרגע לחלוטין בעקבות הלם (בהנחה של המודל הקלאסי של קבלים ומשרנים שבו מתעלמים מהשפעות קוונטיות). אבל במקרה האחרון, לאחר שההלם הגיע לסוף קו ההשהיה שהופעל, למערכת אין זיכרון נוסף של אותו הלם והיא חוזרת למצבה ההתחלתי; התגובה להלם שלו מעבר לנקודה הזו היא אפס בדיוק.

יישום ותכנון

אף על פי שכמעט כל המסננים האלקטרוניים האנלוגיים הם IIR, מסננים דיגיטליים עשויים להיות IIR או FIR. הנוכחות של משוב בטופולוגיה של מסנן זמן בדיד (כגון דיאגרמת הבלוקים המוצגת להלן) יוצרת בדרך כלל תגובת IIR. פונקציית התמסורת של התמרת Z של מסנן IIR מכילה מכנה לא טריוויאלי, המתאר את איברי המשוב הללו. לפונקציית התמסורת של מסנן FIR, לעומת זאת, יש רק מונה כפי שמתבטא בצורה הכללית הנגזרת להלן. כל ה־$a_{i}$ מקדמים עם $i>0$ (איברי משוב) הם אפס ולמסנן אין קטבים סופיים.

פונקציות התמסורת הנוגעות למסננים אלקטרוניים אנלוגיים של IIR נחקרו בהרחבה ועברו מיטוב עבור מאפייני המשרעת והמופע שלהם. פונקציות סינון בזמן רציף אלו מתוארות מישור לפלס. פתרונות רצויים יכולים להיות מועברים למקרה של מסנני זמן בדידים שפונקציות התמסורת שלהם מתבטאות בתחום Z, באמצעות שימוש בטכניקות מתמטיות מסוימות כגון העתקה ביליניארית, אינווריאנטיות הלם או שיטת התאמת קטבים ואפסים. לפיכך מסנני IIR דיגיטליים יכולים להתבסס על פתרונות ידועים עבור מסננים אנלוגיים כגון מסנן צ'בישב, מסנן באטרוורת' (Butterworth filter) ומסנן אליפטי , שיורשים את המאפיינים של אותם פתרונות.

גזירת פונקציית התמסורת

מסננים דיגיטליים מתוארים ומיושמים לעיתים קרובות במונחים של משוואת ההפרשים המגדירה כיצד אות המוצא קשור לאות הקלט:

${\begin{aligned}y[n]{}=&{\frac {1}{a_{0}}}(b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{P}x[n-P]\\&{}-a_{1}y[n-1]-a_{2}y[n-2]-\cdots -a_{Q}y[n-Q])\end{aligned}}$

כאשר:

• $\ P$ הוא סדר מסנן ההפצה קדימה
• $\ b_{i}$ הם מקדמי מסנן ההפצה קדימה
• $\ Q$ הוא סדר מסנן המשוב
• $\ a_{i}$ הם מקדמי מסנן המשוב
• $\ x[n]$ הוא אות הכניסה
• $\ y[n]$ הוא אות הפלט

צורה אחרת של משוואת ההפרשים היא:

$\ y[n]={\frac {1}{a_{0}}}\left(\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]-\sum _{j=1}^{Q}a_{j}y[n-j]\right)$

שכאשר מסודר מחדש, הופך ל:

$\ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}y[n-j]=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]$

כדי למצוא את פונקציית התמסורת של המסנן, ניקח תחילה את התמרת Z של כל צד של המשוואה שלעיל, כאשר אנו משתמשים בתכונה משמרת הזמן כדי לקבל:

$\ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}Y(z)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}X(z)$

אנו מגדירים את פונקציית התמסורת כך:

${\begin{aligned}H(z)&={\frac {Y(z)}{X(z)}}\\&={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}}}\end{aligned}}$

בהתחשב בכך שברוב תכנוני מסנני IIR, מקדם $\ a_{0}$ הוא 1, פונקציית התמסורת של מסנן IIR מקבלת את הצורה המסורתית יותר:

$H(z)={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{1+\sum _{j=1}^{Q}a_{j}z^{-j}}}$

דוגמה לתרשים בלוקים של מסנן IIR. בלוק ה־$z^{-1}$ הוא השהיית יחידה.

יציבות

פונקציית התמסורת מאפשרת לדעת אם מערכת היא יציבה BIBO. ליתר דיוק, הקריטריון ליציבות BIBO בזמן בדיד דורש שהתחום ההתכנסות של המערכת יכלול את מעגל היחידה. לדוגמה, עבור מערכת סיבתית בזמן בדיד, כל הקטבים של פונקציית התמסרות צריכים להיות בעלי ערך מוחלט הקטן מאחד. במילים אחרות, כל הקטבים חייבים להיות ממוקמים בתוך מעגל יחידה במישור Z.

הקטבים מוגדרים כערכים של $z$ המגדירים את המכנה של $H(z)$ שווה ל-0:

$\ 0=\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}$

ניתן לראות כי כאשר $a_{j}\neq 0$ אז הקטבים אינם ממוקמים בראשית מישור ה-Z. זאת בניגוד למסנן FIR בו כל הקטבים ממוקמים בראשית, ולכן הוא תמיד יציב.

מסנני IIR מועדפים לפעמים על פני מסנני FIR מכיוון שמסנן IIR יכול להשיג גלגול אזור מעבר חד הרבה יותר מאשר מסנן FIR באותו סדר.

דוגמה

תהא פונקציית תמסורת $H(z)$ של מסנן זמן בדיד מוגדרת על ידי:

$H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {1}{1-az^{-1}}}$

נשלט על ידי הפרמטר $a$, מספר ממשי עם $0<|a|<1$. $H(z)$ יציב וסיבתי עם קוטב ב־$a$. ניתן להראות שהתגובה להלם בתחום הזמן ניתנת על ידי:

$h(n)=a^{n}u(n)$

כאשר $u(n)$ היא פונקציית מדרגה. אפשר לראות ש־$h(n)$ אינו אפס לכל $n\geq 0$, ובכך התגובה להלם נמשכת לאינסוף.

דוגמה למסנן IIR

יתרונות וחסרונות

היתרון העיקרי שיש למסנני IIR דיגיטליים על פני מסנני FIR הוא יעילותם ביישום, על מנת לעמוד במפרט מבחינת פס מעבר, פס חסימה, ריפל או רול-אוף. ניתן להשיג קבוצה כזו של מפרטים עם מסנן IIR מסדר נמוך יותר (Q בנוסחאות לעיל) ממה שנדרש עבור מסנן FIR העונה על אותן דרישות. אם מיושם במעבד אותות, הדבר מרמז על מספר קטן יותר של חישובים בכל שלב זמן; החיסכון החישובי הוא לרוב גורם גדול למדי.

מצד שני, מסנני FIR יכולים להיות קלים יותר לתכנון, למשל, כך שיתאימו לדרישת תגובת תדר מסוימת. זה נכון במיוחד כאשר הדרישה היא לא מהמקרים הרגילים (מעביר גבוהים, מעביר נמוכים, notch וכו') שנחקרו ועברו מיטוב עבור מסננים אנלוגיים. כמו כן, ניתן להפוך את מסנני FIR בקלות למופע ליניארי (השהיית קבוצה קבועה לעומת תדירות) – תכונה שלא ניתן לעמוד בה בקלות באמצעות מסנני IIR ולאחר מכן רק כקירוב (למשל עם מסנן בסל). סוגיה נוספת בנוגע למסנני IIR דיגיטליים היא הפוטנציאל להגביל התנהגות מחזורית במצב סרק, עקב מערכת המשוב בשילוב עם קוונטיזציה.

שיטות תכנון

אינווריאנטיות הלם

אינווריאנטיות הלם (Impulse Invariance) היא טכניקה לתכנון מסנני תגובה אינסופית להלם (IIR) בזמן רציף שבהם נדגמת התגובה להלם של מערכת הזמן הרציף כדי לייצר את התגובה להלם של מערכת הזמן הבדיד.

אינווריאנטיות הלם היא אחת השיטות הנפוצות כדי לעמוד בשתי הדרישות הבסיסיות של המיפוי ממישור s למישור Z. זה מתקבל על ידי פתרון ה-T(z) בעל אותו ערך פלט באותו זמן דגימה כמו המסנן האנלוגי, והוא ישים רק כאשר הכניסות נמצאות בדופק. חשוב לשים לב כי כל הכניסות של המסנן הדיגיטלי שנוצרו בשיטה זו הן ערכים משוערים, למעט כניסות דפקים מדויקות מאוד. זוהי שיטת תכנון מסנן IIR הפשוטה ביותר. הוא המדויק ביותר בתדרים נמוכים, ולכן הוא משמש בדרך כלל במסננים נמוכים.

עבור התמרת לפלס או התמרת Z, הפלט לאחר ההמרה הוא רק הקלט כפול בפונקציית ההתמרה המתאימה, T(s) או T(z).‏ Y(s) ו-Y(z) הן הפלט המומר של קלט X(s) וקלט X(z), בהתאמה.

$Y(s)=T(s)X(s)$

$Y(z)=T(z)X(z)$

בעת הפעלת התמרת לפלס או התמרת Z על הלם היחידה, התוצאה היא 1. לפיכך, תוצאות הפלט לאחר ההמרה הן

$Y(s)=T(s)$

$Y(z)=T(z)$

כעת הפלט של המסנן האנלוגי הוא רק התמרת לפלס הפוכה בתחום הזמן.

$y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[T(s)]$

אם נשתמש ב-nT במקום t, נוכל לקבל את הפלט y(nT) הנגזר מהדופק בזמן הדגימה. ניתן לבטא אותו גם כ־$y(n)$

$y(n)=y(nT)=y(t)|_{t=sT}$

ניתן להחיל את אות הזמן הבדיד הזה כדי לקבל $T(z)$

$T(z)=Y(z)=Z[y(n)]$

$T(z)=Z[y(n)]=Z[y(nT)]$

$T(z)=Z\left\{L^{-1}[T(s)]_{t=nT}\right\}$

המשוואה האחרונה מתארת מתמטית שמסנן IIR דיגיטלי אמור לבצע התמרת Z על האות האנלוגי שנדגם והומר ל-T(s) על ידי התמרת לפלס, אשר בדרך כלל מפושט ל־

$T(z)=Z[T(s)]*T$

שימו לב לעובדה שיש מכפיל T המופיע בנוסחה. הסיבה לכך היא שגם אם התמרת לפלס והתמרת Z עבור דופק היחידה הם 1, הדופק עצמו אינו בהכרח זהה. עבור אותות אנלוגיים, לדופק יש ערך אינסופי אך השטח הוא 1 ב־t=0, אך הוא 1 בדופק בזמן הבדיד t=0, ולכן נדרש קיומו של מכפיל T.

ראו גם

• מודל אוטו-רגרסיבי
• מסנן אלקטרוני
• תגובה סופית להלם
• נוסחת נסיגה, פורמליזציה מתמטית

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תגובה אינסופית להלם בוויקישיתוף

• (The fifth module of the BORES Signal Processing DSP course - Introduction to DSP] בארכיון Wayback Machine (אורכב 02.07.2016))
• (IIR Digital Filter Design Applet בארכיון Wayback Machine (אורכב 13.02.2010))
• IIR Digital Filter design tool - produces coefficients, graphs, poles, zeros, and C code
• EngineerJS Online IIR Design Tool - does not require Java