מסרק דיראק

מסרק דיראק הוא סדרה אינסופית של הלמים במחזור T.

במתמטיקה, מסרק דיראק או מסרק הלמים (או רכבת הלמים, בעיבוד אותות) סדרה אינסופית, מחזורית של פונקציית דלתא של דיראק המבוטאת כך:

$\Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)$

מאחר שהסדרה מחזורית היא ניתנת לייצוג כטור פורייה:

$\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}$

המסרק של דיראק שימושי מאוד בתחומי הנדסת חשמל, עיבוד אותות ומערכות אופטיות.

תכונת ההכפלה

תכונת ההכפלה נגזרת ישירות מתכונות פונקציית דלתא של דיראק:

$\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)=|\alpha |\cdot \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta {\bigg (}\alpha \cdot (t-kT){\bigg )}$

טור פורייה

ממחזוריות הפונקציה ב־$T$ נובע:

$\Delta _{T}(t+T)=\Delta _{T}(t)\quad \forall t$.

טור פורייה מרוכב לפונקציה מחזורית זו:

$\Delta _{T}(t)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{i2\pi nt/T}\$

כאשר קבועי פוריה הם:

$={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\quad (-\infty <t_{0}<+\infty )\$	$c_{n}\,$
$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\Delta _{T}(t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
$={\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}\delta (t)e^{-i2\pi nt/T}\,dt\$
$={\frac {1}{T}}e^{-i2\pi n\,0/T}\$
$={\frac {1}{T}}\$

והתוצאה היא:

$\Delta _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi nt/T}$

התמרת פורייה

התמרת פורייה של מסרק דיראק היא גם מסרק דיראק:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {1 \over T}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(f-{k \over T}\right)\quad =\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi fnT}$

עד כדי קבוע.

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sqrt {2\pi }}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta \left(\omega -k{\frac {2\pi }{T}}\right)\quad ={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-i\omega nT}\,$

דגימה

הכפלה של אות רציף במסרק דיראק היא אות דגום אידיאלי ושימושית מאוד בתורת הדגימה.

לקריאה נוספת

• Bracewell, R.N., The Fourier Transform and Its Applications (McGraw-Hill, 1965, 2nd ed. 1978, revised 1986)

ראו גם

• עיבוד אותות
• רכבת פולסים

קישורים חיצוניים

• מסרק דיראק, באתר MathWorld (באנגלית)