פונקציית התפלגות

בתורת ההסתברות, פונקציית התפלגות, פונקציית הצטברות או פונקציית התפלגות מצטברת (פה"מ) (באנגלית: Cumulative distribution function, בראשי תיבות: CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה $\ X\leq a$, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, פונקציית ההתפלגות המוגדרת על ידי: $\ F_{X}(a)=\operatorname {Pr} (X\leq a)$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

1. הגבול $\ \lim _{a\rightarrow -\infty }F_{X}(a)$ שווה ל-0.
2. הגבול $\ \lim _{a\rightarrow \infty }F_{X}(a)$ שווה ל-1.
3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר $\ F_{X}(a)\leq F_{X}(b)$ לכל $\ a\leq b$.
4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי כך ש-F היא פונקציית ההתפלגות שלו. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות $\ a<X<b$. ואכן, אם דורשים ש- $\ \operatorname {Pr} (X\leq a)=F(a)$, נובע שהגבול משמאל $\ \lim _{x\rightarrow b^{-}}F(b)$ שווה להסתברות $\ \operatorname {Pr} (X<b)$. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה $\ a<X<b$, $\ a<X\leq b$, $\ a\leq X<b$ ו- $\ a<X<b$.

בפרט נובע ש-$\ P(X=b)=F_{X}(b)-\lim _{x\rightarrow b^{-}}F_{X}(x)$, כך שהסיכוי למאורעות $\ X=b$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$

דוגמאות

קובייה

נניח ש-$X$ הוא תוצאת ההטלה של קובייה הוגנת, כלומר הוא יכול לקבל כל אחד מהמספרים: 1, 2, 3, 4, 5, 6 בסיכוי שווה (סיכוי 1/6 כל אחד. למעשה זוהי התפלגות אחידה בדידה).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $X$ נתונה על ידי:

$F(x)={\begin{cases}0&:\ x<1\\1/6&:\ 1\leq x<2\\2/6&:\ 2\leq x<3\\3/6&:\ 3\leq x<4\\4/6&:\ 4\leq x<5\\5/6&:\ 5\leq x<6\\1&:\ x\geq 6.\end{cases}}$

התפלגות ברנולי

דוגמה נוספת: נניח ש-$X$ הוא משתנה מקרי ברנולי, כלומר הוא יכול לקבל רק את הערכים 0 ו-1, והוא מקבל את הערך 1 בסיכוי $p$, ואת הערך 0 בסיכוי $1-p$ (למשל: אם $p=40\%$ אז $1-p=60\%$).

אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $X$ נתונה על ידי:

$F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\1-p&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}}$

כי ההסתברות ש-$X$ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן או שווה ל-1 היא 100%, וההסתברות שהוא יקבל ערך גדול-שווה מ-0 אך קטן מ-1 היא $1-p$.

התפלגות אחידה רציפה

נניח ש-$X$ מתפלג באופן אחיד בקטע [0, 1]. אז פונקציית ההתפלגות המצטברת של $X$ נתונה על ידי:

$F(x)={\begin{cases}0&:\ x<0\\x&:\ 0\leq x<1\\1&:\ x\geq 1.\end{cases}}$

כי ההסתברות שהמשתנה המקרי $X$ יקבל ערך קטן מ-0 היא 0%, ההסתברות שהוא יקבל ערך קטן מ-x היא 100% לכל x>1, וההסתברות למאורע $\ X\leq x$ לכל מספר $x$ בין 0 ל-1 היא $x$.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא פונקציית התפלגות בוויקישיתוף

• פונקציית התפלגות, באתר MathWorld (באנגלית)