פולינומי צ'בישב

המונח פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי הרוסי פפנוטי צ'בישב) מתיחס לשתי סדרות של פולינומים בעלי מקדמים שלמים: פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון $T_{0}(x),T_{1}(x),\ldots$ , ופולינומי צ'בישב מהסוג השני $U_{0}(x),U_{1}(x),\ldots$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $p(x)$ מקיים את האי-שוויון $\max _{-1\leq x\leq 1}|p(x)|\geq 2^{1-n}$ , והפולינומים $2^{1-n}T_{n}(x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

ארבעת פולינומי צ'בישב מסוג ראשון הראשונים הם:

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\end{aligned}}

הגדרה ותכונות יסוד של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )$ , שבגללה $T_{n}(x+x^{-1})=x^{n}+x^{-n}$ לכל $x$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

{\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)\end{aligned}}

מכאן נובע שהמעלה של פולינום צ'בישב ה- $n$ -י היא $n$ .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos(x))&:x\in [-1,1]\\\cosh(n\,{\text{arccosh}}(x))&:x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\,{\text{arccosh}}(-x))&:x\leq -1\end{cases}}

מן ההגדרה נובע כי

{\begin{matrix}T_{n}(T_{m}(x))=T_{nm}(x)\\\\T_{n}(1)=1,\qquad T_{n}(-1)=(-1)^{n},\qquad T_{2n+1}(0)=0,\qquad T_{2n}(0)=(-1)^{n}\end{matrix}}

באינדוקציה (מעל המרוכבים) אפשר להוכיח את הנוסחה

T_{n}(x)={\frac {(x+{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}+(x-{\sqrt {x^{2}-1}})^{n}}{2}}=\sum _{k\,=\,0}^{\lfloor 0.5n\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}

ולקבל את הפונקציה היוצרת

\sum _{n\,=\,0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}

מתקיים גם השוויון $T_{n}(x)=1+n^{2}(x-1)\prod _{k\,=\,1}^{n-1}\left(1+{\frac {x-1}{2\sin \!{\bigl (}{\frac {k\pi }{n}}{\bigr )}^{2}}}\right)$ .

פולינומי צ'בישב $\{T_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $\langle f_{1},f_{2}\rangle =\int \limits _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}f_{1}(x)f_{2}(x)dx$ .

הגדרה של פולינומי צ'בישב מהסוג השני[עריכת קוד מקור | עריכה]

כמו לפולינומי צ'בישב מהסוג הראשון, גם לפולינומי צ'בישב מהסוג השני ישנן מספר הגדרות שקולות. ניתן להגדיר את סידרת פולינומים זו בעזרת נוסחא טריגונומטרית

U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}

בנוסף, קיימת הנוסחת הנסיגה הבאה:

{\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}

אפשר לשים לב שנוסחאות הנסיגה של פולינומי צ'בישב מהסוג הראשון והשני זהות, למעט ההבדל ש

U_{1}(x)=2x

ולאומת זאת,

T_{1}(x)=x

.

השלכות לבניות גאומטריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכך שמעלת $T_{n}$ היא $n$ נובע כי $\cos(\theta )$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]$ , ובפרט הממד ${\bigl [}\mathbb {Q} [\cos(\theta )]:\mathbb {Q} [\cos(n\theta )]{\bigr ]}\leq n$ . אם בוחרים $\theta ={\frac {\pi }{2n}}$ מתקבל $T_{n}(\cos(\theta ))=0$ , ולעיתים קרובות $T_{n}$ הוא הפולינום המינימלי של $\cos \left({\frac {\pi }{2n}}\right)$ .