עיגול (אריתמטיקה)

עיגול הוא פעולה הנעשית על מספרים, לצורך פישוטם למספר פחות מדויק, אך נוח יותר לזכירה והבנה. במסגרת עיגול של מספר מוחלפות ספרות פחות משמעותיות בו (ממוקמות בימין המספר ומייצגות ערך יותר קטן) באפסים, וספרה משמעותית יותר עשויה להיות מוחלפת בספרה קרובה.

מספר שמספר הספרות המשמעותיות בו הוא כמתבקש לאחר העיגול קרוי מספר עגול.

לעיגול חשיבות גבוהה במצבים של אומדן, שבהם הוא משקף את מידת הדיוק של אומדן זה. כאשר אנו מבקשים מצופה לאמוד את מספר האנשים הנמצאים בהפגנה, והוא עונה 120,000, משקפת תשובתו גם את העובדה שהאומדן שלו מעוגל לעשרות אלפים, משום שאינו מסוגל לתת אומדן מדויק יותר. תשובה כגון 121,238 לשאלה הנ"ל תהווה, בדרך כלל, יומרה שאין לה כיסוי.

פעמים רבות נעדיף לקבל מידע מעוגל על-פני מידע מדויק, משום שכך נוח יותר. כאשר תייר שואל אדם: "מה המרחק אל המפל?" הוא יעדיף כתשובה, בדרך כלל, "חמישה ק"מ" על-פני "5,138 מטר". כאשר אנו שואלים אדם למשקלו, אנו מצפים לתשובה בקילוגרמים שלמים, ורמת דיוק גבוהה יותר, גם כאשר המאזניים מספקים אותה, תהיה לנו לטורח.

שיטות עיגול

אם לא צוין אחרת, עיגול פירושו החלפת מספר ממשי נתון במספר השלם הקרוב אליו. זהו עיגול לשלמים, אך ניתן לעגל גם לעשרות, למאות וכו', וכן ניתן לעגל מימין לנקודה העשרונית. תוצאות מספריות העוסקות בדולרים לתשלום, למשל, אין טעם להציג בדיוק העולה על שתי ספרות מימין לנקודה, משום שהמטבע הקטן ביותר בדולר הוא סנט אחד (בשער חליפין לעומת זאת מוצג הדולר גם בדיוק של ארבע ספרות מימין לנקודה, דיוק שיש לו משמעות בהמרה של סכומים גדולים).

דוגמאות: עיגול לשלמים של 12.35 ייתן 12, ואילו עיגול לשלמים של 12.57 ייתן 13. עיגול של מספרים אלה לעשרות ייתן בשני המקרים 10.

אלגוריתם לעיגול:

• ציין את הספרה הימנית ביותר שיש לה משמעות.
• אם אין ספרות מימין לה, התהליך הסתיים.
• אם הספרה שמימין לה היא 5 או יותר, הוסף 1 לספרה שצוינה;
• את הספרות שמימין לספרה שצוינה שהן גם מימין לנקודה העשרונית קצץ, ואת אלה שמשמאל לנקודה העשרונית החלף באפסים.

בהקשרים שונים מופיעות פונקציות עיגול אחרות, שאף הן מקבלות כקלט מספר ממשי ומחזירות מספר שלם:

• עיגול כלפי מטה: החלף מספר במספר השלם הגדול ביותר שקטן (או שווה) ממנו (פונקציית הערך השלם). במספרים חיוביים פעולה זו שקולה לקיצוץ הספרות שאחרי הנקודה העשרונית. דוגמה: 7.9 יעוגל ל-7. הסימון המתמטי המקובל הוא $\lfloor x\rfloor$. בסעיף 7(ד) לחוק עבודת נשים נאמר: "עובדת רשאית להיעדר מהעבודה, מתום תקופת הלידה וההורות, מספר חדשים כרבע מספר החדשים שבהם עבדה אצל אותו מעסיק או באותו מקום עבודה, אך לא יותר משנים עשר חודשים מיום הלידה וחלק של חודש לא יבוא במנין" - זהו עיגול כלפי מטה לחודשים שלמים.
• עיגול כלפי מעלה: החלף מספר במספר השלם הקטן ביותר שגדול (או שווה) ממנו (פונקציית התקרה). דוגמה: 7.1 יעוגל ל-8. הפונקציה מסומנת $\lceil x\rceil$.

עיגול במדע

כאשר מבצעים מדידה במדעים מדויקים, כמו בפיזיקה, בכימיה או בביולוגיה, מקבלים נוסף על המדידה עצמה גם שגיאת מדידה. שגיאה זו מציינת השפעה של גורמים אחרים (למשל בניסוי המודד את האפקט הפוטואלקטרי השגיאה מציינת בין השאר את האור שמקורו מחוץ למעבדה ואיננו ניתן לשליטה) על מערכת הניסוי. כמו גם חוסר דיוק בסיסי של כלי המדידה (למשל בסרגל שבו השנתות הן בגודל של מילימטר, לא ניתן לקבל מדידה בעלת דיוק גבוה יותר). במצב כזה ייתכן שיתקבלו ספרות נוספות שהן קטנות מטווח השגיאה ולכן הן חסרות משמעות ויש לעגלן. למשל, במצב בו שגיאת המדידה של השעון היא שנייה וקיבלנו תוצאה של 4.58 שניות, אין לספרות לאחר הנקודה משמעות ויש לעגלן למספר השלם הקרוב ביותר (5). ההבדל שבין הערך המדויק לבין הערך המקורב כפי שנמדד נקרא שגיאת קירוב.

עיגול במחשב

בחומרת המחשב, בדרך כלל לא משתמשים בעיגול אלא בקיצוץ של הסיביות האחרונות בתוצאה. כך לא יתקבל 1 כתוצאת החישוב של 3*(1/3), וזאת מכיוון שזכרונו הבינארי של המחשב - סופי (ניתן להגדיל את צריכת הזיכרון ובכך להקטין את השגיאה). ניתן לטפל בבעיה זו, במידה מסוימת, באמצעות שכלול האלגוריתם של החילוק. בהתאם לכך נמצא מחשבון שבו הפעולה 3*(1/3) תיתן 0.999999999999999, ומחשבון אחר שבו פעולה זו תיתן את התוצאה 1.

שפות תכנות רבות כוללות פונקציית עיגול, ויש הכוללות גם את פונקציית הערך השלם ופונקציית תקרה.

ראו גם

• פונקציית הערך השלם
• פונקציית תקרה
• פונקציית קיטום

קישורים חיצוניים

• סרטון הסבר על ספרות משמעותיות ועיגול- באתר יו-טיוב.
• עיגול, באתר MathWorld (באנגלית)