ערך זה עוסק בפעולה מתמטית. אם התכוונתם לשיטה לקביעת הריכוז של חומרים שונים בתמיסה, ראו
טיטור .
בערך זהסימון מתמטי .
גרף הפונקציה
x
e
{\displaystyle ^{x}e}
במתמטיקה , טֶטְרָצְיָה (באנגלית : Tetration או Hyper-4 ) היא פעולה , המתבצעת בין שני מספרים : ה"בסיס " וה"גובה ". טטרציה מסמנים בסימון
a
↑↑
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b}
a
b
{\displaystyle ^{a}b}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
מספר ממשי והגובה הוא מספר טבעי , טטרציה מהווה קיצור של מגדל חזקות מחזורי; כלומר - הטטרציה ה-
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
a
↑↑
b
=
b
a
=
a
a
a
a
⋯
a
⏟
b
{\displaystyle a\uparrow \uparrow b={}^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdots ^{a}}}}}} _{b}}
ניתן גם להגדיר טטרציה רקורסיבית באופן הבא:
b
a
=
{
1
,
if
b
=
0
a
b
−
1
a
,
if
b
>
0
{\displaystyle ^{b}a={\begin{cases}1,&{\text{if }}b=0\\a^{^{b-1}a},&{\text{if }}b>0\end{cases}}}
ארבעת ההיפר-פעולות הראשונות מוצגות מטה, כשטטרציה נחשבת להיפר-פעולה הרביעית. הפעולה האונארית עקיבה (אנ' ) , המוגדרת כ-
a
′
=
a
+
1
{\displaystyle a'=a+1}
חיבור :
a
+
b
=
a
+
1
+
1
+
⋯
+
1
⏟
b
times
{\displaystyle a+b=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{b{\text{ times}}}}
כפל :
a
×
b
=
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
times
{\displaystyle a\times b=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{b{\text{ times}}}}
חזקה :
a
b
=
a
×
a
×
⋯
×
a
⏟
b
times
{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{b{\text{ times}}}}
טטרציה:
b
a
=
a
a
a
a
⋅
⋅
⋅
a
⏟
b
times
{\displaystyle ^{b}a=\underbrace {a^{a^{a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}}} _{b{\text{ times}}}}
יש לשים לב כי החזקה אינה פעולה אסוציאטיבית וכי היא מחושבת מלמעלה למטה. כלומר,
3
5
7
{\displaystyle {3^{5}}^{7}}
3
(
5
7
)
{\displaystyle 3^{(5^{7})}}
(
3
5
)
7
{\displaystyle {(3^{5})}^{7}}
כיוון שחזקה אינה פעולה קומוטטיבית , כך גם טטרציה אינה קומוטטיבית: הטענות
a
(
b
x
)
=
a
b
x
{\displaystyle ^{a}(^{b}x)={}^{ab}x}
a
x
y
=
a
x
a
y
{\displaystyle ^{a}xy={}^{a}x^{a}{}y}
[ 1]
בנוסף, טטרציה גם אינה פעולה אסוציאטיבית . כלומר, הטענה
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
{\displaystyle ^{({^{a}}b)}c={}^{^{a}}(^{b}c)}
בדומה לחזקה, מתקיים כי
0
x
=
1
{\displaystyle ^{0}x=1}
1
x
=
x
{\displaystyle ^{1}x=x}
מההגדרה הרקורסיבית של טטרציה מתקבלת התכונה הבאה:
a
x
=
x
(
a
−
1
x
)
{\displaystyle ^{a}x=x^{(^{a-1}x)}}
ממהגדרה למעלה נובע כי:
(
b
a
)
(
c
a
)
=
(
c
+
1
a
)
(
b
−
1
a
)
{\displaystyle (^{b}a)^{(^{c}a)}=(^{c+1}a)^{(^{b-1}a)}}
(
b
a
)
(
c
a
)
=
(
a
b
−
1
a
)
(
c
a
)
=
a
(
b
−
1
a
)
(
c
a
)
=
a
(
c
a
)
(
b
−
1
a
)
=
(
c
+
1
a
)
(
b
−
1
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left({}^{b}a\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&\left(a^{{}^{b-1}a}\right)^{\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{b-1}a\right)\left({}^{c}a\right)}\\={}&a^{\left({}^{c}a\right)\left({}^{b-1}a\right)}\\={}&\left({}^{c+1}a\right)^{\left({}^{b-1}a\right)}\end{aligned}}}
את פעולת הטטרציה ניתן להרחיב בשתי דרכים שונות; גם את הבסיס, וגם את הגובה ניתן להכליל מעבר למספרים הטבעיים על ידי שימוש בהגדרת ובתכונות הטטרציה.
החזקה
0
0
{\displaystyle 0^{0}}
n
0
{\displaystyle ^{n}0}
lim
x
→
0
n
x
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}
[ 2]
lim
x
→
0
n
x
=
{
1
,
n
even
0
,
n
odd
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}
ולכן, ניתן להגדיר כי
n
0
=
lim
x
→
0
n
x
{\displaystyle ^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}
מאחר שניתן לעלות מספרים מרוכבים בחזקה, אז ניתן גם להפעיל טטרציה על בסיס מהצורה
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
לדוגמה, עבור
n
z
{\displaystyle ^{n}z}
z
=
i
{\displaystyle z=i}
נוסחת אוילר להראות כי:
i
a
+
b
i
=
e
1
2
π
i
(
a
+
b
i
)
=
e
−
1
2
π
b
(
cos
π
a
2
+
i
sin
π
a
2
)
{\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}
ולכן ניתן להגדיר בצורה רקורסיבית את
n
+
1
i
=
a
′
+
b
′
i
{\displaystyle ^{n+1}i=a'+b'i}
n
i
=
a
+
b
i
{\displaystyle ^{n}i=a+bi}
a
′
=
e
−
1
2
π
b
cos
π
a
2
b
′
=
e
−
1
2
π
b
sin
π
a
2
{\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}
ערכי הגבול
lim
n
→
∞
n
x
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}
e
−
e
≤
x
≤
e
1
e
{\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{\frac {1}{e}}}
ניתן להכליל את הטטרציה לגבהים אינסופיים . כלומר, עבור בסיס x כלשהו, קיים הגבול
lim
n
→
∞
n
x
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{}^{n}x}
לדוגמה,
2
2
2
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}
את מגמת ההתקרבות לגבול 2 ניתן לראות גם על ידי חישוב גובה קטן:
2
2
2
2
2
1.414
≈
2
2
2
2
1.63
≈
2
2
2
1.76
≈
2
2
1.84
≈
2
1.89
≈
1.93
{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}
לאונרד אוילר הראה כי באופן כללי, מגדל החזקות האינסופי
x
x
⋅
⋅
⋅
{\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}
e
−
e
≤
x
≤
e
1
e
{\displaystyle e^{-e}\leq x\leq e^{\frac {1}{e}}}
באמצעות ההגדרה הרקורסיבית של טטרציה:
k
+
1
a
=
a
(
k
a
)
,
{\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}
ניתן למצוא את
−
1
a
{\displaystyle {}^{-1}a}
k
a
=
log
a
(
k
+
1
a
)
;
{\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}
אם במקום k נציב -1 נקבל:
−
1
a
=
log
a
(
0
a
)
=
log
a
1
=
0
{\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}
ערכים שליליים הקטנים מ-1 לא ניתן להגדיר באופן זה, אם נציב -2 במקום k באותה משוואה אז נקבל:
−
2
a
=
log
a
(
−
1
a
)
=
log
a
0
{\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}
וזהו מספר שאינו מוגדר.
לחזקה קיימות שתי פעולות הופכיות: השורש והלוגריתם . באופן אנלוגי , גם לטטרציה שתי פעולות הופכיות: הסופר-שורש והסופר-לוגריתם . (למעשה, לכל ההיפר-פעולות הגדולות מ-2 יש שתי פעולות הופכיות אנלוגיות). שתי פעולות אלו כמו הטטרציה אינן פעולות אלמנטריות .
הסופר-שורש היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הבסיס: אם
n
y
=
x
{\displaystyle ^{n}y=x}
y
{\displaystyle y}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle x}
y
=
x
n
s
{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}_{s}}
לדוגמה, אם
4
2
=
2
2
2
2
=
65
,
536
{\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65,536}
2
=
65
,
536
4
s
{\displaystyle 2={\sqrt[{4}]{65,536}}_{s}}
גרף הפונקציה
y
=
x
s
{\displaystyle y={\sqrt {x}}_{s}}
הסופר-שורש השני נקרא סופר-שורש ריבועי, והוא מסומן בצורה
x
2
s
{\displaystyle {\sqrt[{2}]{x}}_{s}}
x
s
{\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}
הסופר-שורש הריבועי הוא למעשה הפונקציה ההופכית לפונקציה
x
x
{\displaystyle x^{x}}
פונקציית אומגה (אנ' ) :[ 3]
x
s
=
e
W
(
ln
x
)
=
ln
x
W
(
ln
x
)
{\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}=e^{W(\ln {x})}={\frac {\ln {x}}{W(\ln {x})}}}
הסופר-לוגריתם היא הפעולה ההפוכה לטטרציה בדגש על הגובה: אם
y
n
=
x
{\displaystyle ^{y}n=x}
y
{\displaystyle y}
n
{\displaystyle n}
x
{\displaystyle x}
y
=
slog
n
x
{\displaystyle y={\text{slog}}_{n}{x}}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
slog
b
(
b
x
)
=
slog
b
(
x
)
+
1
{\displaystyle {\text{slog}}_{b}(b^{x})={\text{slog}}_{b}(x)+1}
slog
b
1
=
0
{\displaystyle {\text{slog}}_{b}1=0}
slog
b
(
x
)
=
slog
b
(
log
b
(
x
)
)
+
1
{\displaystyle {\text{slog}}_{b}(x)={\text{slog}}_{b}(\log _{b}{(x)})+1}
לכל
x
{\displaystyle x}
slog
b
(
x
)
>
−
2
{\displaystyle {\text{slog}}_{b}(x)>-2}
^ Meiburg, Alexander, Analytic Extension of Tetration Through the Product Power-Tower , 2014
^ George Daccache, Climbing the ladder of hyper operators: tetration , math.blogoverflow.com, 5 בינואר 2015
^ Corless, R. M.; Gonnet, G. H.; Hare, D. E. G.; Jeffrey, D. J.; Knuth, D. E , "On the Lambert W function , Advances in Computational Mathematics, 1996
![{\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42ede7788090fc4d176fe752d23871f2f7830733)
![{\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c98bedb003dc7d39081fe92f864adbaf70f9b263)
![{\displaystyle 2={\sqrt[{4}]{65,536}}_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/723054e329e4be3a63551b79c63ac2a6d50c08f2)
.png)
![{\displaystyle {\sqrt[{2}]{x}}_{s}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24f3a14317f37e4392909b576408c6de26d26901)
