מבחני התכנסות לטורים

מבחני התכנסות לטורים במתמטיקה נועדו לבדוק האם טור אינסופי מתכנס למספר סופי. מבחנים אלו אינם מראים מהו סכום הטור, אלא רק מכריעים בשאלת ההתכנסות. ההגדרה הפורמלית להתכנסות טור היא שסדרת הסכומים החלקיים מתכנסת.

על התכנסות הטור משפיע רק זנבו, כלומר ניתן להוריד מספר סופי של איברים מתחילת הטור מבלי לשנות את התכנסותו (אך ייתכן שתוך שינוי של הסכום שאליו יתכנס). על כן אין צורך שדרישות המבחנים יתקיימו עבור כל אברי הטור, אלא רק עבור כל האיברים החל ממקום מסוים.

תנאי הכרחי להתכנסות טורים

ערך מורחב – תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי

תנאי הכרחי להתכנסות טורים הוא שהאיבר הכללי שואף ל-0 כאשר $n\to \infty$

דוגמה

הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\cos(1/n)$ הוא טור מתבדר מכיוון שהאיבר הכללי שלו אינו מתכנס ל-0.

התנאי אינו מספיק, כפי שמדגים הטור ההרמוני שמתבדר.

טורים חיוביים

טורים חיוביים, כלומר טורים שכל אבריהם לא שליליים, ניחנים בתכונה החשובה שסדרת הסכומים החלקיים שלהם היא סדרה עולה. מכיוון שכל סדרה עולה מתכנסת אם היא חסומה, כל שצריך להראות הוא שהסכומים החלקיים של הטור חסומים. עובדה זו מהווה בסיס למספר מבחנים. אם טור חיובי אינו חסום, הוא מתבדר לאינסוף.

מבחן ההשוואה

מבחן ההשוואה הוא הכלי הבסיסי לבחינת התכנסות טורים, ומסתמך על השוואת הטור הנבדק לטור אחר, שכבר ידוע עליו אם הוא מתבדר או מתכנס.

מבחן ההשוואה הראשון

יהיו $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ שני טורים אינסופיים. אם מתקיים החל ממקום מסוים $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ , אז:

אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס, גם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס; לכן גם:
אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר, גם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר.

מבחן ההשוואה השני (הגבולי)

יהיו $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ שני טורים חיוביים אינסופיים, שעבורם הגבול $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L$ קיים. אז:

אם $0<L<\infty$ , הטורים מתכנסים או מתבדרים יחדיו.
אם $L=0$ , אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס ואם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר אז $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).
אם $L=\infty$ אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר אז $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר ואם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אז $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס (אבל ההפך אינו בהכרח נכון).

דוגמאות. נרצה לבדוק אם הטור האינסופי $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{n}}}}$ מתבדר או מתכנס. נערוך את מבחן ההשוואה עם הטור ההרמוני:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{n}}}}{\frac {1}{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{n}}}=1>0$

זאת בהתבסס על העובדה כי $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1$ .

כעת ידוע כי הטורים מתבדרים ומתכנסים ביחד ומכיוון שהטור ההרמוני מתבדר, גם הטור שלנו מתבדר.

מבחן השורש של קושי

יהי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=q$ .

אם $q<1$ הטור מתכנס.
אם $q>1$ הטור מתבדר.
אם $q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

(למעשה, קיים ניסוח כללי יותר: אם קיים $q<1$ כך שכמעט לכל האיברים בסדרה מתקיים $a_{n}\leq q^{n}$ , אז הטור מתכנס).

מבחן המנה של ד'אלמבר

יהי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ טור אינסופי. נסמן $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}=q$ .

אם $q<1$ הטור מתכנס.
אם $q>1$ הטור מתבדר.
אם $q=1$ אזי המבחן לא אינפורמטיבי, המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

(למעשה, קיים ניסוח כללי יותר: אם קיים $q<1$ כך ש- ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\leq q$ כמעט לכל איברי הסדרה, אז הטור מתכנס, ואם ${\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}>1$ כמעט לכל אברי הסדרה, אז הטור מתבדר).

מבחן השורש חזק יותר ממבחן המנה. כלומר - מבחן השורש מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן המנה מכריע, אבל מבחן המנה לא בהכרח מכריע עבור כל טור שעבורו מבחן השורש מכריע. למשל, נסתכל על הטור הבא: ${\frac {1}{2}}+1+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{16}}\cdots$ ,

- ברור כי הטור מתכנס. עם זאת, אם נפעיל עליו את מבחן המנה, נקבל שני גבולות חלקיים לסדרת היחסים בין איברים עוקבים - ${\frac {1}{8}}$ ו- $2$ -ולפיכך הגבול של סדרת המנות אינו קיים. לעומת זאת, אם נפעיל את מבחן השורש, נקבל: $|2^{n}\cdot {\frac {1}{8^{n}}}|^{1/2n}={\frac {1}{2}}$ , כלומר קיבלנו הכרעה בשאלת ההתכנסות של הטור.

הסיבה להבדל בין החוזק של שני המבחנים מתבהרת כאשר עושים שימוש באי שוויון הממוצעים כדי להראות שהגבול של מכפלת השורשים ה-n-ים של המנות של איברים עוקבים בטור (זוהי מכפלה טלסקופית, ולכן שווה לשורש ה-n-י של האיבר האחרון בטור), שהוא גם הגבול של הממוצע הגאומטרי של המנות, הוא קטן מהגבול של הממוצע החשבוני של המנות - ועל פי משפט צזארו, הגבול של הממוצע החשבוני של סדרה שווה לגבול שלה (במידה ויש התכנסות). נקודת המבט של אי שוויון הממוצעים מאפשרת להבין טוב יותר את ההבדל בין מבחן המנה למבחן השורש - בעוד שמבחן המנה לוקח בחשבון רק את היחס האחרון, ולפיכך רגיש לתנודתיות בערך הזה (כמו שקרה בדוגמה האחרונה), מבחן השורש מסתכל על התנהגות היחסים "באופן ממוצע", ולכן מטיב יותר לתאר את ההתנהגות של טורים עם איבר כללי מורכב.

עם זאת, במקרים רבים נוח יותר להשתמש במבחן המנה מאשר במבחן השורש.

מבחן האינטגרל

יהי $N$ מספר טבעי ו- $\ f$ פונקציה חיובית מונוטונית יורדת המוגדרת בקטע $[N,\infty )$ , אזי סכום הסדרה החיובית $\sum _{n=N}^{\infty }f(n)$ מתכנס אם ורק אם האינטגרל $\int _{N}^{\infty }f(x)\,dx$ הוא סופי. בפרט, אם האינטגרל מתבדר אז גם הטור מתבדר.

מבחן ראבה

יהי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ טור חיובי אינסופי. נסמן $\lim _{n\rightarrow \infty }n\left(1-{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right)=q$ .

אם $q>1$ הטור מתכנס.
אם $q<1$ הטור מתבדר.
אם $q=1$ המבחן אינו מספק מידע על התכנסות או התבדרות הטור.

מבחן זה הוא עידון של מבחן המנה, והוא עשוי להצליח במקום שמבחן המנה נכשל (למשל, בהוכחת ההתכנסות של הטור $\sum {\frac {1}{n^{2}}}$ ).

מבחן העיבוי של קושי

תהי $a_{n}$ סדרה חיובית יורדת המתכנסת לאפס. אזי, הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם $\sum _{n=1}^{\infty }2^{n}\cdot a_{2^{n}}$ מתכנס. בלשון ציורית: די להחליף כל קבוצה של $\,2^{n}$ איברים ב- $\,2^{n}$ מופעים של האיבר הראשון (או האחרון) בקבוצה. הטור שיתקבל מתכנס ומתבדר יחד עם הטור המקורי. לעיתים נקרא גם מבחן הדילול.

דוגמאות. נוכיח כי הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln(n)}}$ מתבדר. על פי מבחן העיבוי, טור זה מתכנס ומתבדר יחד עם הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2^{n}}{2^{n}\cdot \ln(2^{n})}}$ , ולאחר צמצום נקבל את הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln 2}}$ . כעת, באמצעות מבחן ההשוואה עם הטור $\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ שידוע כי הוא מתבדר, נסיים את ההוכחה.

טורים כלליים

נאמר על טור שהוא מתכנס בהחלט אם הטור של ערכיהם המוחלטים של איבריו מתכנס. טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס, ולכן אם נתון טור לא חיובי, ניתן לבדוק האם הוא מתכנס בהחלט תוך שימוש במבחני השוואה לטורים חיוביים (כי הטור של ערכיו המוחלטים הוא טור חיובי), ומכך להסיק על התכנסותו. טור שמתכנס אך אינו מתכנס בהחלט נקרא מתכנס בתנאי. לטורים מסוג זה קיימים מבחני התכנסות נוספים.

קריטריון קושי

קריטריון קושי להתכנסות טורים מתבסס על אפיון התכנסות לפי קושי לסדרות לפיו סדרה מתכנסת אם ורק אם היא סדרת קושי. כיוון שלפי ההגדרה טור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים שלו $(S_{n})$ המוגדרת $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ מתכנסת, נובע שטור מתכנס אם ורק אם סדרת הסכומים החלקיים שלו היא סדרת קושי. כלומר, $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס אם ורק אם לכל $\varepsilon >0$ קיים $N$ טבעי כך שלכל $m>n>N$ מתקיים $\left|\sum _{i=n}^{m}a_{i}\right|=\left|S_{m}-S_{n}\right|<\varepsilon$ .

משפט לייבניץ

תהי $a_{n}$ סדרה חיובית יורדת השואפת לאפס. אזי הטור המתחלף שנוצר על ידה $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}$ מתכנס.

זנב הטור, $r_{m}=\sum _{n=m}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}$ , קטן תמיד בערכו המוחלט מגודל האיבר הראשון בו, כלומר: $|\sum _{n=m}^{\infty }(-1)^{n}\cdot a_{n}|\leq |a_{m}|$ . כמו כן, מתקיים $(-1)^{m}\cdot r_{m}\geq 0$ .

דוגמאות. נביט בטור ההרמוני המתחלף: $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\cdot {\frac {1}{n}}$ . הסדרה ${\frac {1}{n}}$ היא סדרה חיובית יורדת לאפס, ולכן על פי מבחן לייבניץ, הטור מתכנס^[1].

מבחן דיריכלה

תהי $a_{n}$ סדרה יורדת ושואפת לאפס ותהי $b_{n}$ סדרה שעבורה קיים מספר חיובי M כך שלכל N טבעי מתקיים $|\sum _{n=1}^{N}{b_{n}}|<M$ (סדרת הסכומים החלקיים של הטור $b_{n}$ חסומה). בתנאים אלה הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot b_{n}$ מתכנס.

מבחן דיריכלה מכליל את מבחן לייבניץ מבחינת הוכחת התכנסות הטור (אך ללא הערכת גודל השארית שכלול במשפט לייבניץ) שכן מבחן לייבניץ הוא המקרה הפרטי של מבחן דיריכלה כאשר $b_{n}=(-1)^{n}$ .

מבחן אבל

תהי $a_{n}$ סדרה מונוטונית חסומה ויהי $\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}}$ טור מתכנס, אזי בתנאים אלה הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cdot b_{n}$ מתכנס.

התכנסות של מכפלות אינסופיות

מכפלה אינסופית $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ מתכנסת או מתבדרת יחד עם הלוגריתם שלה, שהוא הטור $\sum _{n=1}^{\infty }\log(1+a_{n})$ . יותר מזה, אם $0<a_{n}$ לכל n, אז אי-השוויון $1+\sum _{n=1}^{N}a_{n}<\prod _{n=1}^{N}(1+a_{n})<\exp(\sum _{n=1}^{N}a_{n})$ מראה שהמכפלה $\prod _{n=1}^{\infty }(1+a_{n})$ מתכנסת אם ורק אם הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.