מוקד (אופטיקה)

מוקד, נקודת מוקד או פוקוס, הוא מושג תאורטי באופטיקה גאומטרית המתייחס להתכנסותן או להתבדרותן של קרני אור מקבילות אל נקודה אחת או ממנה, בהתאמה. הדרך המוכרת והשימושית ביותר לקבל תוצאה זו היא שבירת קרני האור במעברן דרך עדשה, מרכזת או מפזרת, לפי חוק סנל, או החזרתן ממראה, מרכזת או מפזרת, לפי חוקי ההחזרה.

נקודת המוקד נחשבת לנקודה רק מבחינה תאורטית, משום שמבחינה פיזיקלית, קרני אור אינן מתכנסות לנקודה חסרת ממדים, אלא יוצרות אזור או כתם עגול, המכונה עיגול הטשטוש. ככל שממדיו של עיגול זה קטנים יותר, כך כושר המיקוד של המערכת (עדשה, מראה, או כל צירוף שלהן) טוב יותר והדמות או התמונה שתתקבלנה על ידה תהיינה חדות יותר. מגבלת הממדים סופיים של המוקד נובעת משני סוגים של גורמים פיזיקליים, הנוגדים זה את זה. לכאורה, ניתן לפיכך למטֵב את המערכת, אבל כמפורט בהמשך, כל אחת מהתופעות נושאת בחובה יתרונות וחסרונות, והשיקולים הסופיים בתכנונה של מערכת נקבעים על-פי צורך וייעוד של המערכת. גורם אחד הוא עיוותים או אברציות אופטיות שונות הנגרמות על ידי המערכת האופטית, והגורם השני, הבסיסי יותר, נובע מעקיפה של קרני האור במִפתח העדשה, עובדה המכתיבה ממדי מוקד סופיים גם כאשר המערכת אידיאלית, כלומר נעדרת עיוותים. אזור המוקד המתקבל במקרה אידיאלי כזה הוא הקטן ביותר האפשרי, ונקרא דיסקת איירי. הניגוד בין גורמים אלו נובע מנטייתן של אברציות לגבור ככל שהמיפתח גדול יותר, בשל תרומתן של קרניים הרחוקות מהציר האופטי, בעוד שמגבלת העקיפה גדלה ככל שהמיפתח קטן יותר. למעשה קיים טווח מיטבי בין הצמצם הפתוח ביותר לבין הצמצם הסגור ביותר שבו רמת העיוותים היא הנמוכה ביותר. ברוב העדשות הרגילות הטווח הזה נמצא באמצע, בין צמצם f/8 לבין צמצם f/16. זה הטווח שבו דיסקת איירי היא בקוטר האפקטיבי הקטן ביותר. למגבלות נוגדות אלה חשיבות מכרעת בתכנונן ובתפקודן של מערכות אופטיות, דוגמת מצלמות, טלסקופים, מיקרוסקופים ועוד, וכאמור, הן מחייבות תכנון מיטבי מתאים.

מוקד, מרחק מוקד, מוקד ממשי ומוקד מדומה

איור 1: דוגמה של עדשה מרכזת – קרניים מקבילות (אדומות) מגיעות משמאל במקביל לציר האופטי הראשי, A, ומתמקדות בנקודת המוקד, F (באיור זה מוראה המוקד הימני בלבד). f הוא מרחק המוקד, d הוא עובי העדשה, ו-R הוא רדיוס העיקום של העדשה (עדשה כדורית).

איור מס' 2: דוגמה של עדשה מפזרת – קרניים מקבילות (אדומות) מגיעות משמאל במקביל לציר האופטי הראשי, ומתבדרות כך, שהן נראות כאילו יצאו מ-F מאחורי העדשה.

נבחין בין שני מקרים, המתייחסים הן לעדשות והן למראות עקומות. במקרה הראשון, הקרניים המקבילות פוגעות בעדשה, נשברות בה פעמיים (בכניסה אליה וביציאה ממנה), ומתכנסות אל נקודה אחת (בקירוב), הקרויה מוקד או נקודת מוקד, ומסומנת על ידי F. באיור מס' 1 מתוארת אלומה כזו, המגיעה במקביל לציר האופטי הראשי של העדשה, ומתכנסת בנקודה הנמצאת עליו. אלומות מקבילות המגיעות בכיוונים אחרים, יוצרות גם הן את המוקדים שלהן, אבל על צירים אופטיים משניים, המתארים את כיוון התקדמותן.

המרחק בין נקודת המוקד לבין העדשה מוגדר מרחק מוקד, ומסומן על ידי f. מאחר שנקודת מוקד זו מתקבלת על ידי מפגשן של הקרניים המתכנסות עצמן, שהן ממשיות, היא מוגדרת כמוקד ממשי, ומרחקה מהעדשה מוגדר להיות חיובי.

במקרה השני, הקרניים פוגעות בעדשה ומתפזרות (או מתבדרות) לאחר מעברן בה, כאילו יצאו מנקודה אחת מאחורי העדשה, היא נקודת המוקד. ראו איור. מאחר שהנקודה מתקבלת על ידי המשכי הקרניים ולא על ידי הקרניים עצמן, המוקד מוגדר כמוקד מדומה, ומרחקו מהעדשה מוגדר להיות שלילי (איור מס' 2).

באופן דומה, לגבי מראות כדוריות. אלומה מקבילה הפוגעת במראה מרכזת (מראה קעורה), מוחזרת ממנה אל נקודה אחת (בקירוב), היא נקודת המוקד, והיא ממשית, כמו במקרה של עדשה מרכזת. במקרה של פגיעה במראה מפזרת (מראה קמורה), הקרניים מוחזרות ממנה כאילו יצאו מאותה נקודה (בקירוב) מאחוריה, היא נקודת המוקד, והיא מדומה.

לעדשה שני מוקדים

מאחר שאלומת אור יכולה להגיע לעדשה משני צדיה, הרי שלה שני מוקדים אפשריים (בניגוד למראה), ומרחקיהם מהעדשה אינם שווים, מלבד במקרה של עדשות דקות. נהוג, מסיבות הנדסיות-שימושיות להבחין בין עדשות עבות ובין עדשות דקות. עדשה דקה, בה שני מוקדי העדשה נמצאים במרחקים שווים ממנה, בקירוב, שימושית במיוחד במערכות אופטיות רבות, כמו מצלמות, משקפי ראייה, ועוד, בשל הפשטות היחסית של תכנונן מבחינת השיקולים האופטיים, ושל ייצורן, מבחינה טכנולוגית.

איתור המוקד של עדשה מרכזת בדרך ניסויית

קביעה ניסויית ישירה של המוקד של עדשה מרכזת נעשית באופן הבא:

1. רצוי מאוד לבצע את המדידה באור יום.
2. מעמידים את העדשה אל מול עצם מאיר מרוחק, ומאחוריה, מציבים מסך אטום.
3. מזיזים בזהירות את העדשה לאורך הקו המחבר בין העצם לבין המסך, עד לקבלת דמות חדה וברורה של העצם או הנוף המרוחק.

נוסחת לוטשי העדשות (או במה תלוי מרחק המוקד של עדשה)

ערך מורחב – נוסחת לוטשי העדשות

נוסחה זו מתארת את הקשר בין מרחק המוקד של עדשה לבין הפרמטרים (הגדלים הפיזיקליים) בהם הוא תלוי. במקרה של עדשה דקה קשר זה ניתן על ידי

${\frac {1}{f}}=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)$

כאשר: f הוא מרחק המוקד שלה, n₁ ו-n₂ הם מקדמי השבירה של העדשה ושל התווך בו היא נמצאת, בהתאמה, ו-R_1,2 הם רדיוסי העיקום שלה.

נוסחה זו מלמדת שניתן לקבוע את מרחק המוקד של עדשה משיקולים גאומטריים ולפי טיבם האופטי של החומר ממנו היא עשויה ושל התווך בו היא נמצאת. תלות זו מלמדת שמרחק המוקד של העדשה אינו תכונה של העדשה בלבד, אלא גם של התנאים בהם היא נתונה. לדוגמה, שימוש במשקפי ראייה במים לא יצלח, משום שמרחק המוקד של עדשות המשקפיים מקבל ערך אחר במים (שים לב ליחס בין מקדמי השבירה). דוגמה נוספת: עדשה דו-קמורה (כלומר, קמורה משני צדיה) הנמצאת באוויר או במים פועלת כעדשה מרכזת. עדשת אוויר (בועת אוויר בצורת עדשה דו-קמורה, הנמצאת בזכוכית או במים) לעומת זאת, שלה אותו מבנה, תנהג כעדשה מפזרת.

איור 3: תנור שמש הנמצא במכון ויצמן – גן המדע על שם קלור. עצם שיונח על המעמד בתוך התנור יהיה במוקד המראה, ויתחמם מאוד אם התנור יופנה לעבר השמש.

מוקדים של מראות מיוחדות

למראות כדוריות יש מוקד אחד. יתרונה העיקרי של מראה כזו הוא העדרה של אברציה כרומטית, מאחר שהאור הפוגע אינו עובר בה נפיצה הגורמת לאברציה זו. לעומת זאת, היא סובלת מאברציה כדורית. דוגמה שימושית של מראה מרכזת כזו מובאת באיור מס' 3.

מראה פרבולית

איור 4: עקרון הפעולה של מראה קעורה פראבולית למיקוד קרני אור

למראה המעוצבת בצורה פרבולית כושר מיקוד טוב יותר של קרניים המגיעות אליה במקביל לציר האופטי הראשי שלה, בהשוואה למראה כדורית או אחרות, מאחר שהיא אינה סובלת מאברציה כדורית בתנאים אלה. ראו איור מס' 4. עם זאת, מראה זו רגישה יותר לאברציית קומה מאשר מראות כדוריות ולכן בתכנון אופטי מתחשבים גם בבעיה זו.

מראה אליפטית

למראה אליפטית שני מוקדים. נתייחס, לדוגמה, למראה אליפטית קמורה. מוקדיה של מראה כזו נמצאים מאחוריה (לציין עובדה זו גם לגבי מראות כדוריות). אלומת אור המכוונת אל מוקד אחד של מראה כזו, מוחזרת ממנה לאחר פגיעתה בה, כאילו יצאה מהמוקד השני שלה.

מראה היפרבולית

גם למראה היפרבולית שני מוקדים. במקרה של מראה היפרבולית, לדוגמה, מוקד אחד נמצא לפני המראה, והמוקד השני - מאחוריה. מראה כזו מחזירה אלומה המכוונת אל המוקד שבקדמתה, כאילו יצאה מהמוקד שמאחוריה. לעומת זאת, אלומה המגיעה למראה כשהיא מכוונת אל המוקד שמאחוריה, מוחזרת ממנה כשהיא מכוונת או מתכנסת אל המוקד שבקדמתה.

מרחק מוקד ועוצמה אופטית

ערך מורחב – עוצמה אופטית

מרחק המוקד הוא מדד לעוצמתה האופטית של עדשה למשל (או עוצמת העדשה). ככל שמרחק המוקד גדול יותר, משמעות הדבר היא שאלומה מקבילה שפגעה בעדשה עוברת מרחק גדול יותר לפני שהיא מתרכזת בנקודה אחת, היא המוקד, ולכן כושר השבירה שלה חלש יותר. מסיבה זו עוצמת העדשה מוגדרת על ידי הערך ההפוך של מרחק המוקד, כלומר, ${\frac {1}{f}}$. כאשר יחידות מרחק המוקד מבוטאות במטרים, יחידות העוצמה תהיינה m^-1, המוגדר דיופטר. גודל זה מאפיין, לדוגמה, את עדשות המגע או משקפי הראייה המשמשים לתיקון לקויות ראייה למיניהן. ערך ('מספר') גדול בדיופטרים מציין כושר שבירה גבוה של העדשה, בין אם ערך זה חיובי ובין אם הוא שלילי. ערך ('מספר') חיובי מבטא כושר ריכוז, וערך ('מספר') שלילי מבטא כושר פיזור.

מישור המוקד ומישור הדמות

מישור המוקד

איור מס' 5: עיקום שדה - משטח הדמות אינו מישורי.

נקודת המוקד מוגדרת עבור אלומת קרניים מקבילות. כאשר האלומה המקבילה מגיעה במקביל לציר האופטי הראשי המוקד מתקבל על הציר (מוקד ראשי). כאשר האלומה המקבילה נטויה ביחס לציר האופטי הראשי, המוקד מתקבל מחוצה לו. לכן, גוף לא נקודתי יוצר מספר רב של נקודות מוקד, כל אחת מתקבלת מאלומה מקבילה המגיעה מאזור קטן מאוד בעצם, וביחד, הן יוצרות מישור מוקד. הגדרת המקום הגאומטרי שלהן כמישור איננה מדויקת, בשל אברציה הנקראת עיקום השדה של פצבל, הגורמת לכך שקרניים רחוקות מהציר האופטי מתמקדות לפני המישור. איור מס' 5 ממחיש את התופעה. יהיה נכון לדבר, בקירוב, על מישור רק עבור קרניים פרקסיאליות.

ישנן כמה דרכים לקבל אלומה מקבילה כזו. אפשרות אחת היא של קרניים המגיעות אל העדשה או אל המראה מעצם מאוד מרוחק יחסית לממדי העדשה (מצב המכונה 'עצם באינסוף') או המראה. אפשרות אחרת היא כאשר האור מגיע אל העדשה או המראה כשהוא עובר דרך המוקד שלהן, או כשהעצם או מקור האור נמצאים בנקודה זו, וקרניים מגיעות מהם אל העדשה או המראה.

מישור הדמות

כאשר העצם אינו מרוחק, קרני האור המגיעות ממנו אל העדשה או אל המראה אינן מקבילות, אבל הן מתכנסות (במקרה של עדשה או מראה מרכזות) בנקודות שונות היוצרות את מישור הדמות, כאשר הקרניים המגיעות מכל נקודה נתונה על העצם יוצרות את נקודת הדמות שלה. מיקומו של מישור זה תלוי במיקום העצם, עבור עדשה או מראה נתונים, מאחר שחרוט האור המגיע מהעצם אל נקודה נתונה על העדשה או המראה, מגיע בזווית מרחבית אחרת, ולכן, השפעת העדשה או המראה עליו תהיה שונה, כלומר, היא תתכנס אל נקודה במישור אחר. ביטוי כמותי מקורב לקשר זה מתואר להלן, בנוסחת העדשה הדקה. מתיאור זה ברור כי מישור המוקד הוא מקרה פרטי של מישור הדמות.

נוסחת העדשה הדקה או נוסחת גאוס

נוסחה זו מתארת את הקשר בין מרחק הדמות מהעדשה (v), לבין מרחק העצם מהעדשה (u) ומרחק המוקד שלה (f), על ידי ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{u}}+{\frac {1}{v}}$. נוסחה זו מבוססת על קירוב קרניים פרקסיאליות, כלומר, קרניים המגיעות לעדשה בזווית קטנה ביחס לציר האופטי. למרות שמה, נוסחה זו שימושית גם עבור מראות כדוריות.

אברציות אופטיות

עיוותים או אברציות אופטיות נובעות כולן מחוסר יכולתן של עדשות ומראות למקד של קרניים המגיעות לאזורים שונים בעדשה או במראה בנקודה אחת על הציר האופטי. אברציות אלה מתחלקות לאברציות מונוכרומטיות, והן נובעות, בעיקר, מתלות זוויתית של הקרניים המגיעות לעדשה או למראה, ולאברציות כרומטיות הנובעות מנפיצה, כלומר, כתוצאה מתלות מקדם השבירה באורך הגל הפוגע, וכתוצאה מכך, גם זווית השבירה, לפי חוק סנל, והמוקד. רשימה חלקית של אברציות אלה, מופיעה בערך אברציה אופטית.

צירוף של עדשות

במקרים רבים לצירוף של עדשות שימושים חשובים מבחינה טכנולוגית. במצלמות, למשל, צירוף נאות של עדשות מנטרל אברציות אופטיות מסוימות עד לרמה אופטימלית נדרשת. דוגמה אחרת היא תיקון ליקויי ראייה. מאחר שלא ניתן להחליף עדשת עין המתפקדת באופן לקוי אופטית, כמו במקרים של קוצר ראייה ורוחק ראייה, בהם הדמות מתמקדת מחוץ לרשתית העין, כל שנותר הוא להוסיף עדשה נוספת (בצורת עדשות מגע או משקפי ראייה) מתאימה על-מנת שקרני האור יתמקדו בדיוק על הרשתית. מרחק המוקד של צירוף של שתי עדשות שביניהן מרחק d, ניתן על ידי ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}-{\frac {d}{f_{1}f_{2}}}$. במקרה של שתי עדשות צמודות, נוסחה זו נעשית פשוטה יותר, ${\frac {1}{f}}={\frac {1}{f_{1}}}+{\frac {1}{f_{2}}}$.

עומק שדה

ערך מורחב – עומק שדה

איור מס' 6: צד שמאל - עומק שדה קטן, כלומר, הקלפים הנמצאים קרוב או רחוק ביחס למרחק המוקד נראים מטושטשים; בצד ימין לעומת זאת, מציג עומק שדה גדול, כלומר, שלושת הקלפים נראים חדים למדי, ללא הבדל מורגש.

מושג זה שימושי מאוד בתחום הצילום. באופן עקרוני, עדשה נתונה (מצלמה או מערכת אופטית אחרת) ממקדת עצם הנמצא במרחק מסוים בנקודת מוקד אחת. עם זאת, עדשות ומערכות אופטיות שונות נבדלות זו מזו במידת התזוזה של נקודת המוקד עבור תזוזה נתונה של העצם, לאורך הציר האופטי. תחום התזוזה המותרת עבור העצם כך שנקודת המוקד זזה כתוצאה מכך באופן מזערי ובלתי מורגש, מוגדר כעומק שדה. איור מס' 6 ממחיש זאת: הקלפים המוצגים בחלקו הימני, לפני ואחרי הקלף האמצעי, נראים ממוקדים, בעוד שאלה שבחלקו השמאלי אינם נראים ממוקדים.

דוגמאות לשימושים במיקוד

• עדשה מרכזת ממקדת את אור השמש במוקד שלה, דבר שמאפשר להצית אש באמצעותה.
• אנטנות לוויין מעוצבות כמראה קעורה לקליטת שידורי לוויין בתחום גלי רדיו. בשל מרחקו הרב של הלוויין (סדר גודל של מאות קילומטרים), גלי הרדיו המגיעים ממנו אל אנטנת הקליטה הם מקבילים למעשה, והם מתמקדים על ידי האנטנה-מראה אל הקולט הנמצא במוקד שלה.
• מראות כדוריות, דוגמת זו המתוארת באיור מס' 3, יכולות לשמש לחימום מים או מזון.
• ניתן להפיק אלומת אור מקבילה (זרקור) באמצעות מקור אור הנמצא במוקדן של עדשה או מראה מרכזות, לאחר שקרני האור המגיעות ממנו נשברות בעדשה או מוחזרות מהמראה.

לקריאה נוספת

• עמי יברכיהו, אופטיקה גאומטרית, התעשייה הצבאית (1986)
• M Born & E Wolf, Principles of Optics, Pergamon Press, 1980
• Optics, E Hecht, Addison-Wesley, 1987
• Fundamentals of Optics, FA Jenkins & HE White, McGraw-Hill, 1976
• L Levi Applied Optics, vol 1, Wiley, 1968

ראו גם

• אופטיקה גאומטרית
• עדשה
• מראות קעורות וקמורות
• שבירה
• מראה עקומה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מוקד בוויקישיתוף