הצמדה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של $a$ באמצעות $b$ היא הפעולה $a\mapsto bab^{-1}$ . הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:

\operatorname {Inn} _{b}(a)=\operatorname {inn} _{b}(a)=\operatorname {Int} _{b}(a)=\operatorname {int} _{b}(a)={}^{b}a=bab^{-1}

איברים צמודים ומחלקת צמידות

נאמר על שני איברים $a$ ו- $b$ בחבורה $G$ שהם איברים צמודים אם קיים $g\in G$ כך שמתקיים:

a=gbg^{-1}

יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:

רפלקסיביות - כל איבר צמוד לעצמו מכיוון שמתקיים:

a=aaa^{-1}

.

סימטריות - אם $a=gbg^{-1}$ אז:

(g^{-1})a(g^{-1})^{-1}=g^{-1}(gbg^{-1})g=b

.

טרנזיטיביות - אם $a=gbg^{-1}$ ו- $b=hch^{-1}$ אז:

a=gbg^{-1}=g(hch^{-1})g^{-1}=(gh)c(gh)^{-1}

אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון $a$ נקראת מחלקת הצמידות של $a$ . מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.

דוגמאות

יחס הדמיון בין מטריצות הוא למעשה יחס הצמידות. שתי מטריצות שונות הן צמודות אם ורק אם הן מייצגות את אותה העתקה ליניארית בבסיסים שונים.
שתי תמורות הן צמודות אם יש להן אותו מבנה מחזורים. כלומר אם לכל מחזור בפירוק של תמורה אחת מתאים מחזור באותו האורך בפירוק של התמורה האחרת.

תכונות

פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: $(gag^{-1})(gbg^{-1})=g(ab)g^{-1}$ $(gag^{-1})(gbg^{-1})=g(ab)g^{-1}$ . במילים אחרות הפונקציה $x\mapsto bxb^{-1}$ $x\mapsto bxb^{-1}$ היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
- אם $a,b$ צמודים, אז גם $a^{n},b^{n}$ צמודים.
- לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו ( $gag^{-1}=gg^{-1}a=a$ ). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית: