מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
גרעין (באנגלית : Kernel ) של הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים הוא אוסף האיברים שההומומורפיזם מעביר אל האיבר הנייטרלי (לדוגמה: איבר האפס של מרחב וקטורי , איבר האפס של חוג , האיבר הנייטרלי של חבורה ). הגרעין הוא תת-מבנה של המבנה שממנו מוגדר ההומומורפיזם, וחלות עליו גרסאות שונות של משפט האיזומורפיזם הראשון , על-פי סוג המבנה שבו מדובר. נהוג לסמן את הגרעין של העתקה
f
:
A
→
B
{\displaystyle f:A\to B}
Ker
(
f
)
{\displaystyle {\text{Ker}}(f)}
ker
(
f
)
{\displaystyle \ker(f)}
ker
f
{\displaystyle \ker f}
אם
T
:
V
→
W
{\displaystyle T:V\to W}
מרחבים וקטוריים , הגרעין שלו
Ker
(
T
)
=
{
v
∈
V
:
T
(
v
)
=
0
}
{\displaystyle {\text{Ker}}(T)=\{v\in V:T(v)=0\}}
V
{\displaystyle V}
dim
(
V
)
−
rank
(
T
)
{\displaystyle \dim(V)-{\text{rank}}(T)}
אם
f
:
G
→
H
{\displaystyle f:G\to H}
חבורות , הגרעין
Ker
(
f
)
=
{
x
∈
G
:
f
(
x
)
=
e
H
}
{\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in G:f(x)=e_{H}\}}
תת-חבורה נורמלית , וחבורת המנה
G
/
Ker
(
f
)
{\displaystyle G/{\text{Ker}}(f)}
Im
(
f
)
{\displaystyle {\text{Im}}(f)}
אם
f
:
R
→
S
{\displaystyle f:R\to S}
חוגים , הגרעין
Ker
(
f
)
=
{
x
∈
R
:
f
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in R:f(x)=0\}}
אידיאל דו-צדדי, וחוג המנה
R
/
Ker
(
f
)
{\displaystyle R/{\text{Ker}}(f)}
Im
(
f
)
{\displaystyle {\text{Im}}(f)}
אם
f
:
M
→
N
{\displaystyle f:M\to N}
מודולים מעל חוג R, הגרעין
Ker
(
f
)
=
{
x
∈
M
:
f
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in M:f(x)=0\}}
M
{\displaystyle M}
M
/
Ker
(
f
)
{\displaystyle M/{\text{Ker}}(f)}
Im
(
f
)
{\displaystyle {\text{Im}}(f)}
ניתן להגדיר גרעין גם עבור קבוצה מנוקדת (pointed set). אם
f
:
(
X
,
x
0
)
→
(
Y
,
y
0
)
{\displaystyle f:(X,x_{0})\to (Y,y_{0})}
פונקציה בין קבוצות עם נקודות אז
Ker
(
f
)
=
{
x
∈
X
:
f
(
x
)
=
y
0
}
{\displaystyle {\text{Ker}}(f)=\{x\in X:f(x)=y_{0}\}}
ההכללה המשותפת למקרים אלה נתונה בתורת הקטגוריות על ידי מושג הגרעין הקטגורי.
