אפקט הקרום

בתורת האלקטרומגנטיות, אפקט הקרום (באנגלית: Skin effect) הוא הנטייה של זרמי חילופין (AC) להיות מפולגים בתוך המוליך הנושא אותם באופן כזה שצפיפות הזרם החשמלי היא גבוהה ביותר בסמוך לפני השטח של המוליך, ופוחתת עם הגידול בעומק בתוך המוליך. הזרם החשמלי נע בעיקר ב"קרום" של המוליך, בתוך שכבה דקה שממוקמת בין פני השטח שלו למפלס מסוים, שרוחבה מכונה עומק הקרום.

קיים יחס הפוך בין תדירות זרם החילופין לבין עובי שכבת ה"קרום" כך שככל שתדירות זרם החילופין עולה, כך הופכת שכבת ה"קרום" לדקה יותר. כלומר, ככל שעולה תדירות זרם החילופין כך הולך וקטן שטח החתך של המוליך שדרכו מתקדם רוב הזרם. לכן, במוליך בעובי נתון, ההתנגדות החשמלית האפקטיבית גדלה עם תדירות זרם החילופין המועבר דרכו.

כמקרי קצה ניתן לבחון מצב בו תדירות זרם החילופין היא 0 ומקרה בו התדירות היא אינסופית:

כאשר תדירות זרם החילופין היא 0 – זהו מצב של זרם ישר. במצב זה לא קיים "קרום" וההולכה מתבצעת באופן אחיד לכל עומק החתך במוליך, כך שהתנגדות המוליך היא הקטנה ביותר.
כאשר תדירות זרם החילופין היא אינסופית – זהו מצב תאורטי שבו ה"קרום" דק כל-כך כך שלמעשה הוא איננו קיים ולא מתאפשרת הולכה. במצב זה התנגדות המוליך היא אינסופית.

בצורה מעט פשטנית ניתן לומר שהתופעה נגרמת על ידי זרמי מערבולת מנוגדים המושרים על ידי השדה המגנטי המשתנה הנגרם כתוצאה מזרם החילופין. לדוגמה, בזרם חילופין בתדירות 60 הרץ הזורם בנחושת, עומק הקרום הוא בערך 8.5 מילימטר. בתדירויות גבוהות יותר עומק הקרום קטן בהרבה.

סיבת האפקט

מוליכים, שמיוצרים בדרך כלל בצורה של תילים, יכולים לשמש כדי לממסר אנרגיה או אותות חשמליים באמצעות זרם חילופין הזורם דרכם. נשאי המטען החשמלי שמרכיבים את הזרם הזה, כמעט תמיד אלקטרונים, מונעים על ידי שדה חשמלי. זרם חילופין בתוך המוליך יוצר שדה מגנטי משתנה בתוך ומבחוץ למוליך; כאשר צפיפות הזרם במוליך משתנה, השדה המגנטי הנלווה אליו גם משתנה. לפי חוק פאראדיי השינוי בשדה המגנטי הזה יוצר בתורו שדה חשמלי שמתנגד לשינוי בצפיפות הזרם. השדה החשמלי המנוגד הזה מכונה "כוח אלקטרו מניע מנוגד" (back EMF). הכוח האלקטרומניע המנוגד הוא חזק ביותר במרכז המוליך, ולכן מקזז את השדה החשמלי החיצוני במידה הרבה ביותר במרכזו. באיור מימין מתוארים קווי השדה המגנטי על ידי המעגלים הכחולים, ו"זרמי המערבולת" המושרים על ידי השדה החשמלי הנגרם משינוי השדה המגנטי מיוצגים על ידי המעגלים האדומים. מנקודת מבט שקולה ניתן לומר שהשדה המגנטי המשתנה יוצר שדה חשמלי ערבולי, מה שבא לידי ביטוי בגרדיאנט רדיאלי של השדה החשמלי.

זרם חילופין עשוי גם להיות מושרה במוליך עקב שדה מגנטי משתנה, בהתאם לחוק ההשראה. גל אלקטרומגנטי הפוגע במוליך כזה יפיק בדרך כלל זרם כזה; זה מסביר את ההחזרה של גלים אלקטרומגנטיים ממתכות.

ללא קשר לכוח המניע, צפיפות הזרם תהיה גבוהה ביותר על שפת המוליך, עם עוצמה מופחתת בפנים המוליך. הדעיכה בעוצמת הזרם נקראת אפקט הקרום ועומק הקרום הוא מדד לעומק שבו צפיפות הזרם קטנה פי $e$ מערכו בסמוך לפני השטח. מעל 98% מהזרם יזרום בשכבה חיצונית שעוביה 4 פעמים עומק הקרום. התנהגות זאת שונה מזאת של זרם ישר אשר בדרך כלל יתפלג בצורה אחידה על פני חתך הרוחב של התיל.

האפקט תואר לראשונה במאמר של הוראס לם (Horace Lamb) מ-1883 עבור המקרה של מוליכים כדוריים, ומאוחר יותר הוכלל למוליכים מכל צורה שהיא על ידי אוליבר הביסייד ב-1885. לאפקט הקרום יש השלכות מעשיות בניתוח ותכנון של מעגלים חשמליים בתדרי רדיו ומיקרו, כמו גם קווי תמסורת ואנטנות. הוא חשוב גם בתדירויות בעלות ערכים של 50–60 הרץ - טווח התואם את התדירות הסטנדרטית ברשתות אספקות חשמל. אף על פי שהמונח "אפקט הקרום" מקושר ליישומים שקשורים בתמסורת של זרמים חשמליים, "עומק הקרום" מתאר גם את הדעיכה המעריכית של שדות חשמליים ומגנטיים, כמו גם את צפיפות הזרמים המושרים, בתוך חומר בו פוגע גל אלקטרומגנטי מישורי בזווית ישרה.

נוסחאות

משוואת הזרם בתיל גלילי

ניתן לגזור משוואה דיפרנציאלית חלקית לצפיפות הזרם $J(r,t)$ לפי המרחק $r$ מציר התיל והזמן $t$ בעזרת חוק אמפר וחוק פאראדיי. כדי לגזור את המשוואה, נניח תחילה שעובי שכבת הקרום $\delta$ קטן בכמה סדרי גודל מרדיוס התיל $R$ . הנחה זאת תשמש בהמשך בהזנחת איבר במשוואה הדיפרנציאלית של הזרם.

נתייחס כעת לצפיפות הזרם ולשדה המגנטי $B(r,t)$ . עבור מסלול מעגלי שהמישור עליו הוא נח מאונך לציר ה־ $z$ (בקואורדינטות גליליות), לפי חוק אמפר המתוקן מתקיים:

\oint _{\partial S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\mu I+\mu \varepsilon {\frac {d\Phi _{E}}{dt}}

ניתן לפתח את אגף ימין:

{\begin{aligned}\mu I+\mu \varepsilon {\frac {d\Phi _{E}}{dt}}&=&\iint _{S}\left(\mu {\vec {J}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\cdot d{\vec {S}}\\&=&\iint _{S}\left(\mu {\vec {J}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\cdot rdrd\varphi \\&=&\int _{r}\left(\mu {\vec {J}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\cdot 2\pi r\ dr\end{aligned}}

כמו כן, ניתן לפתח את אגף שמאל:

\oint _{\partial S}{\vec {B}}\cdot d{\vec {l}}=\oint _{\partial S}{\vec {B}}\cdot rd{\vec {\varphi }}=\oint _{\partial S}B_{\varphi }(r)rd\varphi =2\pi r\cdot B_{\varphi }(r)

ולכן לפי חוק אמפר המתוקן:

2\pi r\cdot B_{\varphi }(r)=\int _{r}\left(\mu {\vec {J}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\cdot 2\pi r\ dr

לאחר גזירת שני האגפים לפי $r$ , יתקבל:

2\pi {\frac {\partial (B_{\varphi }r)}{\partial r}}=\left(\mu {\vec {J}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\right)\cdot 2\pi r

ומכאן:

\mu {\vec {J}}+\mu \varepsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (B_{\varphi }r)}{\partial r}}

האיבר $\varepsilon {\frac {\partial E}{\partial t}}$ נקרא צפיפות זרם ההעתקה, והוא זניח כאשר תדירות זרם החילופין קטנה. בטקסטים רבים על אפקט הקרום מזניחים איבר זה, דבר שמפשט מאוד את החישובים, אולם כאן ניצמד לפיתוח הכללי ביותר.

ניתן לפתח את הנגזרת באגף ימין בהתאם לכלל לייבניץ ולקבל:

\mu \left(J(r,t)+\varepsilon {\frac {\partial E}{\partial t}}\right)={\frac {\partial B}{\partial r}}+{\frac {B}{r}}

לפי חוק פאראדיי, השדה החשמלי המושרה על ידי השינויים בשדה המגנטי מקיים:

{\frac {\partial E}{\partial r}}=-{\frac {\partial E}{\partial y}}={\frac {\partial B}{\partial t}}

כאשר $y=R-r$ הוא העומק מתחת לפני השטח של המוליך. כמו כן, לפי חוק אוהם מתקיים:

\rho J(r,t)=E_{total}(r,t)

כאשר $\rho$ היא מקדם ההתנגדות החשמלית ו- $E_{total}(r,t)$ הוא השדה החשמלי הכולל (סכום השדה האלקטרו מניע והשדה המושרה המנוגד). שילוב כל המשוואות מאפשר לגזור את המשוואה הדיפרנציאלית החלקית הבאה:

{\frac {\partial ^{2}J}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial J}{\partial r}}={\frac {\mu }{\rho }}({\frac {\partial J}{\partial t}}+\rho \varepsilon {\frac {\partial ^{2}J}{\partial t^{2}}})

בגלל ההנחה ש- $y\ll R$ מותר להזניח את האיבר השני באגף שמאל (אם הנחה זאת אינה תקפה הפתרונות המתקבלים מערבים פונקציות בסל), ולכן המשוואה הדיפרנציאלית החלקית המתקבלת היא:

{\frac {\partial ^{2}J}{\partial r^{2}}}={\frac {\mu }{\rho }}({\frac {\partial J}{\partial t}}+\rho \varepsilon {\frac {\partial ^{2}J}{\partial t^{2}}})

עומק הקרום

הפתרונות למשוואה הדיפרנציאלית לעיל הם מהצורה:

J(r,t)=J_{S}e^{-(R-r)/\delta }sin(\omega t-\beta (R-r))=J_{S}e^{-d/\delta }sin(\omega t-\beta d)

כאשר $J_{S}$ הוא הערך המקסימלי של הזרם על שפת המוליך (בעומק אפס), $\omega$ היא התדירות של זרם החילופין, ו- $d=R-r$ הוא העומק. הצבת הפתרון במשוואה מאפשרת למצוא את הקבועים הנעלמים $\delta$ ו- $\beta$ . מהשוואת מקדמי האיברים הסינוסואידיים והקוסינוסואידיים המתקבלים מחישוב הנגזרות שבשני אגפי המשוואה הדיפרנציאלית, מתקבלות המשוואות הבאות:

(1/\delta )^{2}-\beta ^{2}=-\varepsilon \mu \omega ^{2}

2\beta /\delta ={\frac {\mu \omega }{\rho }}

אילו מלכתחילה היו מזניחים את איבר זרם ההעתקה אז הייתה מתקבלת באופן מיידי התוצאה $\beta =1/\delta$ והפתרון למשוואה הדיפרנציאלית היה מקבל את הצורה המרוכבת הנוחה $J=J_{\mathrm {S} }\,e^{-{(1+i)d/\delta }}$ (כאשר $i={\sqrt {-1}}$ הוא היחידה המדומה). כעת, צמד משוואות אלו מוליכות למשוואה ממעלה רביעית ב- $\delta$ , ממנה ניתן לחלץ את עומק הקרום האופייני $\delta$ כפונקציה של התדירות, הפרמאביליות המגנטית בחומר, המקדם הדיאלקטרי, וההתנגדות החשמלית הסגולית^[1]:

\delta ={\sqrt {{2\rho } \over {\omega \mu }}}\;\;{\sqrt {{\sqrt {1+\left({\rho \omega \varepsilon }\right)^{2}}}+\rho \omega \varepsilon }}

בתדירויות שנמוכות בהרבה מ- $1/\rho \varepsilon$ הגודל שבתוך הרדיקל הימני קרוב לאחד, והנוסחה לעומק הקרום מקבלת את הצורה הנוחה יותר:

\delta ={\sqrt {\frac {2\rho }{\mu \omega }}}

.

נוסחה זאת תקפה בתדירויות שרחוקות מתדירויות תהודה אטומיות או מולקולריות טבעיות של החומר ממנו עשוי המוליך (תדירויות עבורן ל- $\varepsilon$ יש חלק מדומה גדול, מה שמוביל לתהודות חזקות) ונמוכות בהרבה מתדירות הפלזמה $\omega _{p}$ (התלויה בצפיפות האלקטרונים החופשיים במוליך) ומההופכי של משך הזמן הממוצע בין התנגשויות $\tau _{c}$ של אלקטרוני ההולכה. אילולא התנאי $\omega \ll 1/\tau _{c}$ יתקיים, אז יתקבל בו מצב השדה האלקטרו מניע החיצוני משתנה משמעותית בפרק הזמן שבין התנגשות להתנגשות; כיוון שהפרמטר הקבוע הוא המהלך החופשי הממוצע של אלקטרון נובע איפה שפרק הזמן בין התנגשות להתנגשות יתארך משמעותית ולכן, על פי מודל דרודה, המוליכות הסגולית תגדל משמעותית (במילים אחרות, תתקבל תלות של $\rho$ בעצמו בתדירות). במוליכים טובים כמו מתכות כל התנאים הללו מתקיימים לפחות עד לתחום תדירויות גלי המיקרו, מה שמצדיק את הנוסחה. לדוגמה, במקרה של נחושת, הנוסחה תהיה תקפה עד לתדירויות של $10^{18}$ הרץ.