מודל אלקטרונים כמעט חופשיים

בפיזיקה של מצב מוצק, מודל אלקטרונים כמעט חופשיים הוא מודל קוונטי המתאר את תכונותיו של אלקטרונים היכולים לזוז באופן כמעט חופשי במבנה גבישי של מוצק. בעזרת ההנחה שהאלקטרונים נעים בתוך המוצק באופן כמעט חופשי – עם הפרעה קטנה, המודל מאפשר חישוב של מבנה הפסים של מוצקים – במיוחד במתכות.

המודל של אלקטרונים כמעט חופשיים הוא הרחבה מיידית של מודל אלקטרונים חופשיים , שבו האלקטרונים בחומר נתפסים כגז אלקטרונים חסר אינטראקציה, כשהאטומים אינם משפיעים כלל על תנועתם. בין שני המודלים, קיים גם מודל ביניים, מופשט יותר, שנקרא קירוב הסריג הריק . עבור חומרים בהם הפוטנציאל חזק יותר ולא ניתן למידול כהפרעה קטנה, לא ניתן להשתמש במודל, והמודל שמשמש עבורם הוא מודל הקשירה ההדוקה.

הסבר מתמטי

על פי המודל, פונקציית הגל של האלקטרונים בחומר במצב מוצק מתנהגת בקירוב כמו גל מישורי של חלקיק חופשי. השוני הוא שבמודל זה ישנה הפרעה קטנה לאלקטרונים מהאטומים שסביבם. הפרעה זו מתוארת באמצעות בורות פוטנציאל המונחים באופן מחזורי, לפי מחזורית הסריג. בסימון מתמטי פוטנציאל זה מתואר באמצעות ההנחה $V({\vec {r}})=V({\vec {r}}+{\vec {R}})$.

על פי משפט בלוך, בהינתן הפרעה בעלת פוטנציאל מחזורי (כמו זו של סריג), פתרון משוואת שרדינגר יינתן על ידי פונקציית הגל: $$\psi _{\textbf {k}}({\vec {r}})=u_{\textbf {k}}({\vec {r}})e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$$

כאשר ל-$u_{\textbf {k}}$ יש את אותה מחזוריות כמו לגביש:

$$u_{\textbf {k}}=u_{\textbf {k}}({\textbf {r}}+{\textbf {R}})$$

לכל וקטור סריג $R$, כלומר: לכל וקטור $R$ המחבר בין נקודות בגביש.

כלומר ניתן לראות שמה שמשתנה מבחינת האלקטרון בפאזה המקרו-סקופית, כלומר בלי להתייחס לערך המדויק של $u_{\textbf {k}}$ (משום שהוא נקבע על פי המיקום בתוך התא בגביש), ניתן לראות שמה שמשתנה בפוקציית הגל היא בעיקר הפאזה, כלומר, ברמה המקרו-סקופית האלקטרונים בגביש המחזורי מתנהגים כמו אלקטרונים חופשיים.

מכיוון שהמודל קרוב למודל אלקטרונים חופשיים ניתן להניח:

$$\psi _{\textbf {k}}({\textbf {r}})\approx {\frac {1}{\sqrt {\Omega _{r}}}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$$

כאשר Ω_r מייצג את הנפח של מצב של רדיוס r מתוקן (כפי שמיוצג בפרדוקס גיבס).

פונקציית הגל הנ"ל מוצבת במשוואת שרדינגר ומתקבלת המשוואה המרכזית.

פיתוח המשוואה המרכזית

תחילת הפיתוח במשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

$${\hat {H}}\psi =E\psi$$

באופן כללי, ההמילטוניאן של אלקטרון שנמצא בפוטנציאל חשמלי:

$${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}_{x}^{2}+{\hat {p}}_{y}^{2}+{\hat {p}}_{z}^{2}}{2m}}+V({\textbf {r}})$$

על כן, בהצגת המקום:

$$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi +V\psi =E\psi$$

ניתן לתאר כל פונקציה מחזורית – ובפרט, את פונקציית הגל – כטור פורייה (סכום אינסופי של גלים מישוריים), בנוסף, ניתן להראות שכל פונקציה בעלת המחזוריות של הגביש ניתן לכתוב כסכום פורייה בווקטורי הסריג ההופכי G (כפי שמובא להלן), ובפרט את האנרגיה פוטנציאלית של היונים בגביש. תחת השינויים הללו:

$$\psi ({\textbf {r}})=\sum _{\textbf {k}}C_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}\quad V({\textbf {r}})=\sum _{\textbf {G}}V_{\textbf {G}}e^{i{\textbf {G}}\cdot {\textbf {r}}}$$

ומהצבה במשוואת שרדינגר מתקבל:

$$\sum _{\textbf {k}}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}C_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}+\sum _{{\textbf {G}},{\textbf {k}}}V_{\textbf {G}}C_{\textbf {k}}e^{i({\textbf {G}}+{\textbf {k}})\cdot {\textbf {r}}}=\sum _{\textbf {k}}EC_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$$

עבור הסכימה השנייה ניתן להגדיר:

$${\textbf {k}}'\equiv {\textbf {G}}+{\textbf {k}}$$

ומכאן:

$$\sum _{\textbf {k}}{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}C_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}+\sum _{{\textbf {G}},{\textbf {k}}'}V_{\textbf {G}}C_{{\textbf {k}}'-{\textbf {G}}}e^{i{\textbf {k}}'\cdot {\textbf {r}}}=\sum _{\textbf {k}}EC_{\textbf {k}}e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}$$

k' הוא אינדקס סכימה, ולכן ניתן להחליף אותו ב-k. מכאן, לאחר העברת אגפים, מתקבלת המשוואה:

$$\sum _{\textbf {k}}\left[\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}-E\right)C_{\textbf {k}}+\sum _{\textbf {G}}V_{\textbf {G}}C_{{\textbf {k}}-{\textbf {G}}}\right]e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}}=0$$

וממנה נובעת המשוואה המרכזית:

$$\forall {\textbf {k}}:(\lambda _{\textbf {k}}-\epsilon )C_{\textbf {k}}+\sum _{\textbf {G}}V_{\textbf {G}}C_{{\textbf {k}}-{\textbf {G}}}=0$$

כאשר הגדרנו את האנרגיה הקינטית $\lambda _{\textbf {k}}={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ ואת E החלפנו ב-$\epsilon$, כדי לשמור על אחידות עם הסימון המקובל.

כאשר פותרים את סט המשוואות הנ"ל (המיוצג במשוואה המרכזית) מקבלים את רמות האנרגיה, כלומר, אנרגיה כפונקציה של וקטור הגל k.

בדרך כלל פותרים את המשוואה המרכזית באמצעות קירובים, כדוגמת קירוב הסריג הריק.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא מודל אלקטרונים כמעט חופשיים בוויקישיתוף

הערות שוליים

ערך זה הוא קצרמר בנושא פיזיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.