אידיאל (אלגברת לי)

באלגברה מופשטת, אידיאל של אלגברת לי הוא תת-מרחב וקטורי שלה הסגור לפעולה. האידיאלים של אלגברת לי מקבילים לתת חבורות בתורת החבורות ולאידיאלים של חוגים, ומהווים מינוח בסיסי וחשוב בתורת המבנה של אלגברות לי.

הגדרה פורמלית

תהי $L$ אלגברת לי מעל שדה $F$. תת-מרחב וקטורי $I$ של $L$ נקרא אידיאל אם מתקיים $\forall x\in L,y\in I:[x,y]\in I$, או בשקילות $[I,L]\subseteq I$. אם $I$ אידיאל של $L$, מסמנים $I\triangleleft L$.

אלגברת לי נקראת פשוטה אם אין לה אידיאלים לא טריוויאליים.

תכונות

• מרחב האפס והמרחב כולו הם אידיאלים.
• המרכז של אלגברת לי הוא אידיאל.
• $[L,L]$ אידיאל של $L$.
• אם $I,J$ אידיאלים של $L$ גם סכומם $I+J=\{i+j:i\in I,j\in J\}$ אידיאל.

אלגברת המנה

באותו האופן בו בונים ממרחב מנה של מרחב וקטורי, או חוג מנה, אפשר לבנות גם אלגברת מנה של אלגברת לי באידיאל נתון שלה.

פורמלית, המרחב מסומן על ידי $L/I$; כקבוצה הוא שווה למרחב המנה (כמרחב וקטורי), והוא הופך להיות אלגברת לי עם הפעולה $[x+I,y+I]=[x,y]+I$, שמוגדרת היטב.

לאחר הגדרה זו, אפשר להגדיר הומומורפיזם אלגברות לי (כך שישמור את הפעולה), ולהוכיח את משפטי האיזומורפיזם, בצורה אנלוגית לחלוטין לזו מתורת החוגים.

ראו גם

• אידיאל (אלגברה)
• חוג מנה

לקריאה נוספת

• Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, James Humphreys, 6-7