4-וקטור

4-וקטור הוא וקטור בעל 4 רכיבים שמשתנה לפי טרנספורמציות לורנץ בין מערכות ייחוס.

באופן אינטואיטיבי, ניתן לחשוב על וקטורים דו־ממדיים: נניח שיש שני וקטורים דו־ממדיים, מיקום של חלקיק שנמצא בנקודה $(1,1)$ וזוג סדור המתאר ממדים של מלבן שאורכו 4 ורוחבו 5: $(4,5)$ . אם נסובב את הצירים ב-45 מעלות, נקבל שהחלקיק נמצא על ציר x והמיקום השתנה להיות $({\sqrt {2}},0)$ . עם זאת, הזוג הסדור המתאר את ממדי המלבן לא השתנה: $(4,5)$ . במובן הזה, וקטור המיקום הוא 2-וקטור ולעומת זאת וקטור ממדי המלבן הוא לא 2-וקטור (כלומר, זהו פשוט זוג סדור של שני מספרים שלא קשור לצירים). ההבחנה בין וקטורים שמשתנים בהתאם לטרנספורמציות שעברו הצירים לכאלו שלא היא הבחנה חשובה, משום שממנה ניתן להבין אלו וקטורים שומרים על תכונות גאומטריות. לדוגמה, הזווית בין שני 2-וקטורים נשמרת בכל מערכת צירים (משום ששני הווקטורים עוברים את אותה טרנספורמציה בהתאם).

בתורת היחסות הפרטית, הטרנספורמציות ששומרות על הגאומטריה של מינקובסקי הן סיבוב, שיקוף וטרנספורמציית לורנץ, ולכן וקטורים שמשתנים בהתאם לטרנספורמציה נקראים 4-וקטורים.

4-וקטור הכי בסיסי הוא המיקום-זמן במרחב מינקובסקי שהוא בעל ארבעה ממדים: שלושה ממדי אורך ומימד זמן אחד. 4-וקטור A מיוצג על ידי ארבעת הרכיבים שלו, $(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ . הרכיב ה- $\mu$ של 4-וקטור מסומן $A^{\mu }$ ובדרך כלל משתמשים בסימון מרושל במעט ואומרים כי $A^{\mu }$ הוא 4-וקטור, כאשר למעשה משמעותו המדוקדקת של סמל זה היא רכיב מסוים.

על מנת שארבעת הרכיבים יהוו 4-וקטור, עליהם לעבור (לפי הגדרה) טרנספורמציית לורנץ כך:

4-וקטור קונטרה-וריאנטי, כלומר כמו הדיפרנציאל $d{\bar {x}}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }\,_{\nu }x^{\nu }$
4-וקטור קו-וריאנטי, כלומר כמו הנגזרת ${\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\mu }}}=(\Lambda ^{-1})^{\nu }\,_{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}$

המספרים $\Lambda ^{\mu }\,_{\nu }$ מייצגים טרנספורמצית לורנץ ממערכת אחת לאחרת. 4-וקטור הוא טנזור מדרגה ראשונה. השתמשנו כאן, כפי שמקובל בטיפול ב־4-וקטורים, בהסכם הסכימה של איינשטיין.

כאשר ההקשר ברור, מקובל לקרוא ל-4-וקטור פשוט "וקטור".

מתמטיקה של 4-וקטור

התיאור הבסיסי ביותר של 4-וקטור הוא באמצעות 4 רכיביו במערכת ייחוס מסוימת $(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3})$ , כפי שנאמר בתחילת דף זה, וגם מקובל לאגד את הרכיבים המרחביים לווקטור מרחבי ("3-וקטור") כך $(A^{0},{\vec {A}})$ . אם נדקדק יותר, הרי שזה היה וקטור קונטרה וריאנטי, ויש גם וקטורים קו-ווריאנטים, $(A_{0},A_{1},A_{2},A_{3})$ .

הקשר בין וקטור קונטרווריאנטי לבין הגרסה הקווריאנטית של הווקטור הוא בעזרת המטריקה,

$A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu },\ \ \ A^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }A_{\nu }$

כאשר המטריקה היא המטריקה של מינקובסקי, כלומר

$\eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)$

שהיא טנזור קווריאנטי וגם טנזור קונטרווריאנטי מדרגה שנייה. באופן מעשי מסמנים

$A^{\mu }=(A^{0},{\vec {A}}),\ A_{\mu }=(A^{0},-{\vec {A}})$

כלומר הגרסה ה"נורמלית" של 4-וקטור היא הקונטרה-וריאנטית, והיא מגדירה את הגרסה הקווריאנטית. בחירה זו היא שרירותית, אך מקובלת ברוב הספרים החדשים יותר. בעזרת המטריקה מגדירים מכפלה סקלרית של שני 4-וקטורים:

a\cdot b=a^{\mu }\eta _{\mu \nu }b^{\nu }\equiv a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a^{0}b^{0}-a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}

ואז הנורמה היא:

\ \|a\|^{2}=a^{\mu }a_{\mu }=a^{\mu }\eta _{\mu \nu }a^{\nu }

כאשר השתמשנו בהסכם הסכימה של איינשטיין (סכימה על אינדקס שמופיע פעם עליון ופעם תחתון). זו אינה "נורמה" או "מכפלה סקלרית" במובן הרגיל משום שה"נורמה" הזו יכולה להיות מספר מדומה (נורמה בריבוע שהיא מספר שלילי).

4-וקטורים בתורת היחסות הפרטית

המאורע/המקום

הראשוני ביותר בין ה-4-וקטורים הוא וקטור המקום (או נכון יותר ה"מאורע"), שמייצג נקודה מסוימת במרחב זמן: $x^{\mu }=(ct,{\vec {x}})$ , כלומר $(ct,x,y,z)$ .

נהוג למיין 4-וקטורים לפי הסימן של המכפלה שלהם עם עצמם, להלן (ההערכות בסוגריים מתייחסות למקרה שהווקטור הוא הפרש בין שני מאורעות):

אם $\ A^{\mu }A_{\mu }>0$ אומרים שהווקטור הוא timelike (אם 2 מאורעות מופרדים זמנית אז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו מקום, וכמו כן ייתכן קשר סיבתי ביניהם).
אם $\ A^{\mu }A_{\mu }<0$ אומרים שהווקטור הוא spacelike (אם 2 מאורעות מופרדים מרחבית אז קיימת מערכת בה האירועים מתרחשים באותו זמן, ולא ייתכן קשר סיבתי ביניהם).
אם $\ A^{\mu }A_{\mu }=0$ אומרים שהווקטור הוא nulllike או lightlike (אם 2 מאורעות מופרדים אורית אז רק אפקטים הנעים במהירות האור יכולים לקשר ביניהם פיזיקלית וסיבתית).

המהירות והתאוצה

4-וקטור המהירות הוא $u^{\mu }={\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}$ , כאשר $\ \tau \$ הוא הזמן העצמי של החלקיק, ונקרא "4-מהירות". באופן דומה ה-"4-תאוצה" מוגדרת כך, $a^{\mu }={\frac {du^{\mu }}{d\tau }}$ .

הקשר בין ה-4-מהירות לבין המהירות של החלקיק, כלומר $\ {\vec {v}}=d{\vec {x}}/dt\$ הוא

\ u^{\mu }=(\gamma (v)c,\gamma (v){\vec {v}})\

הביטוי האנלוגי עבור התאוצה מסורבל ולא שימושי, ולכן לא מופיע כאן. ה-4 מהירות מקיימת תמיד $\ u^{\mu }u_{\mu }=c^{2}\$ , וזה לא משתנה עם תנועת החלקיק. לפיכך ניתן להסיק "אורתוגונליות" בין ה-4 מהירות ל-4 תאוצה במובן הבא: