השערת רימן
במתמטיקה, השערת רימן היא השערה שהציע בשנת 1859 המתמטיקאי ברנהרד רימן, מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה. לפי ההשערה, החלק הממשי של כל האפסים (הלא טריוויאליים) של פונקציה מרוכבת הידועה בשם "פונקציית זטא של רימן" הוא . השערה זו, הקשורה קשר עמוק להתפלגות של המספרים הראשוניים, היא מן הבעיות הפתוחות הבולטות ביותר בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל, וכלולה ב-7 בעיות המילניום של מכון קליי. ההשערה הוצגה לראשונה ב-1859 במאמרו של רימן על מספר הראשוניים מתחת לגודל נתון.
המתמטיקה של השערת רימן
[עריכת קוד מקור | עריכה]פונקציית זטא של רימן היא פונקציה מרוכבת המוגדרת עבור מספרים מרוכבים s בעלי חלק ממשי גדול מ-1 על ידי , ועבור ערכים אחרים באמצעות המשכה אנליטית. לאחר ההמשכה, הפונקציה מרומורפית בכל המישור, עם קוטב פשוט בנקודה s=1, ואפסים פשוטים בנקודות . אפסים אלו נקראים "האפסים הטריוויאליים", משום שהם נובעים מיד מן הנוסחה להמשכה האנליטית של הפונקציה.
השערת רימן עוסקת באפסים של פונקציית זטא, למעט אלה שבערכים השליליים הזוגיים. ההשערה קובעת שכולם נמצאים על "הישר הקריטי" .
רימן פרסם את השערתו במאמרו העוסק בהתפלגות המספרים הראשוניים, ולהשערה קשר עמוק להתפלגות זו. בשנת 1896 הוכיחו ז'אק אדמר ושארל דה לה ואלה פוסן, כל אחד מהם באופן עצמאי, שלפונקציה אין אפסים על הישר , ותוצאה זו לבדה הספיקה להם כדי להוכיח את משפט המספרים הראשוניים. מכאן נובע גם שעל כל האפסים להימצא ב"רצועה הקריטית" . בשנת 1900 כלל המתמטיקאי הנודע דויד הילברט את השערת רימן ברשימת 23 הבעיות שלו כבעיה השמינית, רשימה שהיוותה אתגר למתמטיקאים במהלך המאה ה-20, ואחדות מהבעיות שבה עודן מחכות לפתרון. הוא אמר אודות הבעיה: "אם אתעורר לאחר שינה בת חמש-מאות שנה, שאלתי הראשונה תהיה: האם הוכיחו כבר את השערת רימן?"[1].
הלגה פון קוך הוכיח ב-1901 כי השערת רימן שקולה לגרסה החזקה הבאה של משפט המספרים הראשוניים: כאשר . היא פונקציית המספרים הראשוניים.
השערת רימן שקולה לכך שההתפלגות הסימן של פונקציית מביוס מקיימת את התנאי לכל .
השערת רימן שקולה לכך שקבוע דה ברויין-ניומן אינו גדול מאפס.
השערת רימן המוכללת
[עריכת קוד מקור | עריכה]פונקציית זטא של דדקינד עבור שדה מספרים היא ההמשכה האנליטית של , כאשר עובר על האידיאלים של חוג השלמים , ו-, הנורמה של . אם הוא שדה המספרים הרציונליים, מתקבלת פונקציית זטא של רימן. גם במקרה הכללי, הטור המתאר את פונקציית זטא מתכנס עבור , וקיימת עבורו המשכה לפונקציה מרומורפית בכל המישור המרוכב, עם קוטב פשוט יחיד ב-.
השערת רימן המוכללת גורסת כי לכל שדה מספרים , האפסים של פונקציית זטא של דדקינד המתאימה מקיימים .
מקומה של השערת רימן במתמטיקה המודרנית
[עריכת קוד מקור | עריכה]השערת רימן היא אחת ההשערות החשובות ביותר במתמטיקה המודרנית. אחת הסיבות לכך היא שישנם אלפי מאמרים מתמטיים שמוכיחים משפטים מתמטיים שונים רק בהנחה שהשערת רימן נכונה. ראוי לציון שפעמים רבות הוכח משפט מתמטי כלשהו רק בתנאי שהשערת רימן נכונה, ולאחר מכן הוכח שוב באופן אבסולוטי, שאינו תלוי בהשערת רימן. כמובן שהישג כזה מוערך גם אם התוצאה המותנית בהשערה הייתה ידועה קודם לכן, מכיוון שהשערת רימן טרם הוכחה. ישנן בעיות שהוכח לגביהן שאם השערת רימן נכונה, ניתן יהיה להתקדם בהן לקראת פתרון (כגון השערת גולדבך). כמו כן לפעמים מאמר מתמטי משפר חסם מתמטי כלשהו ועושה זאת בו זמנית לשני ערכים שונים, אחד (משופר יותר) המניח את נכונותה של השערת רימן, ואחד (משופר פחות) מבלי להניח את נכונותה[2]. השערת רימן כל כך נפוצה ומפורסמת כך שהמתמטיקאים נוטים להזכירה במאמרים מתמטיים בראשי תיבות מבלי להסביר אותם, כגון:GRH =Generalized Riemann hypothesis = השערת רימן המוכללת.
פרס קליי
[עריכת קוד מקור | עריכה]- ערך מורחב – בעיות המילניום של מכון קליי
בשנת 2000 הכריז מכון קליי למתמטיקה, הנמצא בקיימברידג', מסצ'וסטס, על פרס בסך מיליון דולר שיינתן לראשון שיפתור אחת משבע בעיות מתמטיות מרכזיות. אחת משבע בעיות אלה היא השערת רימן, והפרס יינתן למי שיוכיח את נכונותה.
ראו גם
[עריכת קוד מקור | עריכה]לקריאה נוספת
[עריכת קוד מקור | עריכה]- מרכוס דו סוטוי, המוזיקה של המספרים הראשוניים, ספרי עליית הגג והוצאת ידיעות אחרונות, תרגם: אוריאל גבעון, 2006.
קישורים חיצוניים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- השערת רימן באתר "מספרים ראשוניים"
- גדי אלכסנדרוביץ', אז מהי השערת רימן?, באתר "לא מדויק", 8 בפברואר 2010
- BioCast - אלף אישים באלף שניות: השערת רימן, באתר iCast, 9 באוקטובר 2011
- השערת רימן, באתר MathWorld (באנגלית)
- השערת רימן, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
הערות שוליים
[עריכת קוד מקור | עריכה]- ^ The Riemann Hypothesis, J. Brian Conray, Notices of the AMS, March 2003, [1]
- ^ ראה למשל ב: D. R. Heath-Brown and J.-C. Puchta. Integers represented as a sum of primes and powers of two. Asian J. Math., 6(3):535–565, 2002. שמוכיח שמספיק סכום של שני ראשוניים ו13 חזקות של 2 בשביל לבטא כל מספר, אם לא נניח את נכונות השערת רימן, ואם נניח את נכונותה, יספיק סכום של שני ראשוניים ו7 חזקות של 2 בשביל לבטא כל מספר/ זו כמובן רק דוגמה אחת מיני מאות.
בעיות המילניום של מכון קליי | ||
---|---|---|
הבעיות | השערת בירץ' וסווינרטון-דייר • השערת רימן • השערת פואנקרה (נפתרה) • השערת הודג' • משוואות נאוויה-סטוקס • P=NP • תורות יאנג-מילס | |
פותרים | גריגורי פרלמן (השערת פואנקרה) | |
23 הבעיות של הילברט • בעיות לנדאו |
פונקציות L וזטא | ||
---|---|---|
פונקציות זטא בתורת המספרים | פונקציית זטא של רימן • פונקציית זטא של דדקינד • פונקציית זטא של הסה-וויל • פונקציית זטא אריתמטית • פונקציית זטא של איגוסה | |
פונקציות L (נוספות) בתורת המספרים | פונקציית L של דיריכלה • פונקציית L של ארטין • פונקציית L של הקה • פונקציית L של תבנית אוטומורפית • פונקציית L מוטיבית | |
תוצאות חשובות | המשכה אנליטית ומשוואה פונקציאונלית עבור פונקציית זטא של רימן • משפט המספרים הראשוניים • הנוסחה המפורשת של רימן מנגולד • משפט דיריכלה • משפט הצפיפות של צ'בוטרב • משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית) • השערות וויל • נוסחת מספר המחלקה (של דיריכלה ושל דדקינד) | |
השערות חשובות | השערת רימן (המוכללת) • השערת לנגלנדס • השערת לינדולף • השערת ארטין | |
פונקציות L וזטא נוספות | פונקציית זטא של חבורה • פונקציית זטא הצגתית של חבורה • פונקציית זטא של סלברג | |
מושגים קשורים נוספים | תורת המספרים האנליטית • תורת המספרים האלגברית • המשכה אנליטית • טור דיריכלה |